Matematyka.pl

Czy może ktoś pomóc w wyprowadzeniu wzoru na odległość miedzy prostymi równoległymi w przestrzeni? Chodzi o ten wzór \(\displaystyle{ d=\frac{\vec{V} \times \vec{P_{1}P_{2}}}{|\vec{V}|}}\) , gdzie \(\displaystyle{ \vec{V}}\) jest wektorem kierunkowym prostych a wektor \(\displaystyle{ P_{1}P_{2}}\) jest wektorem łączącym punkty leżące na tych prostych.
Dziekuje z góry

Oj Wojtek Wojtek, widzę, że masz wielką chęć na 3 punkciki. Strzeż się ;> nie wiadomo, czy profesor K. nie wpada sobie na to forum w ramach popołudniowej rozrywki.
Do prośby się przyłączam oczywiście ;]

Niech dane będą dwa punkty na tych prostych \(\displaystyle{ P_{1}+t\vec{v}, P_{2}+s\vec{v}}\)
Dalej, niech f, będzie oznaczać odległości pomiędzy dwoma tymi punktami
\(\displaystyle{ f(t,s)=\sqrt{\big<(P_{1}-P_{2})+(t-s)\vec{v},(P_{1}-P_{2})+(t-s)\vec{v}\big>}}\)

Wystarczy zminimalizować \(\displaystyle{ f}\) .

Po drodze trzeba skorzystać ze wzoru Lagrange'a
\(\displaystyle{ |\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-<\vec{a},\vec{b}>=|\vec{a}\times\vec{b}|^2}\)

Ja dochodzę do pewnego momentu i nie wiem co dalej ;/ Mianowicie - oznaczę sobie punkty na tych prostych \(\displaystyle{ p = P_{1}+t\vec{v} , q=P_{2}+t\vec{v}}\) . Jeżeli \(\displaystyle{ \vec{v}}\) prostopadłe do \(\displaystyle{ \vec{pq}}\) to \(\displaystyle{ \vec{pq}}\) =minimum odległości prostych.
Liczę\(\displaystyle{ |\vec{pg}|^2=|\vec{P_{1}P_{2}}|^2+2(\vec{P_{1}P_{2}})\vec{v}(t-s)+\vec{v}^2(s^2-2st+t^2)}\)
Następnie liczę pochodne cząstkowe po t i s i przyrównuję do zera przez co otrzymuję układ równań.
i mam:
\(\displaystyle{ -2\vec{P_{1}P_{2}}\vec{v}-2s\vec{v}^2+2t\vec{v}^2=0}\)
\(\displaystyle{ 2\vec{P_{1}P_{2}}\vec{v}-2t\vec{v}^2+2s\vec{v}^2=0}\)
Wyciągam \(\displaystyle{ \vec{v}}\) przez nawias i wychodzi, że \(\displaystyle{ \vec{v}}\) prostopadłe do \(\displaystyle{ \vec{pq}}\)

i dalej nie bardzo wiem co zrobić ;/