Matematyka.pl

Witam,
mam spory problem z następującym układem równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}12^{Log_{6}x}+2^{Log_{6}y}= (\frac{3}{2})^ {\frac{1}{3}} \\ Log_{6}x + Log_{6}y = - \frac{2}{3} \end{cases}}\)

Byłbym wdzięczny za jakąś wskazówkę bo nie mam pojęcia jak się do tego zabrać:) Nawet Mathematica nie dała rady, więc pewnie trzeba coś nietypowego zrobić.

Może niekoniecznie trzeba się uciekać do nietypowych metod co wynik wychodzi nieciekawy.
Zajmij się najpierw drugim równaniem. Zsumuj logarytmy, skorzystaj z definicji logarytmu i wyznacz sobie jedną ze zmiennych. Podstaw do pierwszego równania i już powinno pójść. Jakbyś się gdzieś zaciął to napisz dokładnie, w którym momencie.

To nie jest takie proste, już trochę spędziłem nad tym przykładem =)

Z drugiego równania wychodzi:

\(\displaystyle{ \frac{1}{6^{ \frac{2}{3}} }=xy}\)

Przekształcam pierwsze równanie:
\(\displaystyle{ x*2^{log_{6}2}+y^{log_{6}2}= (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}}\)

Po wyznaczeniu z tego y z drugiego równania i podstawieniu do pierwszego otrzymuję po uproszczeniu:

\(\displaystyle{ x*x^{log_{6}2}+2^{-\frac{2}{3}}*x^{-log_{6}2}=(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}}\)

Nie wiem jak wyznaczyć z tego x...

Próbowałem też podstawień (\(\displaystyle{ a=log_{6}x}\)) oraz wyznaczenia z drugiego równania \(\displaystyle{ log_{6}x}\) i podstawienia tego do pierwszego,ale wszystko to prowadzi do podobnych równań, stąd wniosek że trzeba coś tutaj zauważyć. Poza tym zadanie jest autorstwa p. Pawłowskiego

Powiedz mi w jaki sposób niby dochodzisz do takich podstaw logarytmów (przy takim równaniu) bo nie mogę się tego dopatrzeć.

Przekształcam pierwsze równanie:

\(\displaystyle{ 12^{log_{6}x}+2^{log_{6}y} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}

6^ {log_{6}x} * 2^{log_{6}x}+2^{log_{6}y} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}

x*2^{\frac{log_{2}x}{log_{2}6}} + 2^{\frac{log_{2}y}{log_{2}6}} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}

x*x^{log_{6}2}+y^{log_{6}2} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}}\)

Podstawiam \(\displaystyle{ y = \frac{1}{6^{\frac{2}{3}}*x}}\)

\(\displaystyle{ x*x^{log_{6}2} + (6^{-\frac{2}{3}}*x^{-1})^{log_{6}2} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}

x*x^{log_{6}2} + 2^{-\frac{2}{3}}*x^{-log_{6}2} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}}\)

Po prostu stwierdziłem ze taka forma będzie najprostsza:)