Skoro funkcja, która mamy wyznaczyć jest holomorficzna, to spełnia ona równania Cauchy'ego-Riemanna.
Zakładając, że
\(\displaystyle{ U}\) oznacza część rzeczywistą funkcji
\(\displaystyle{ f}\), pozostaje nam wyznaczyć część urojoną - standardowo niech
\(\displaystyle{ V}\) oznacza część urojoną.
Obliczając kolejne pochodne po
\(\displaystyle{ x}\) i
\(\displaystyle{ y}\) z funkcji
\(\displaystyle{ U}\) podstawiamy je do równań Cauchy'ego-Riemanna:
\(\displaystyle{ \begin{array}{rcl} 3x^2 - 3y^2 + 1 & = & \frac{ \partial V}{ \partial y} \\ -6xy & = & -\frac{ \partial V}{ \partial x} \end{array}}\)
Z drugiego równania natychmiast możemy wyznaczyć, iż
\(\displaystyle{ V = 3x^2y + \varphi(y)}\). Podstawiając ten wynik do pierwszego równania otrzymamy:
\(\displaystyle{ 3x^2 - 3y^2 + 1 = 3x^2 + \varphi ' (y)}\)
Proste rachunki pozwalają pokazują, że
\(\displaystyle{ \varphi (y) = y - y^3 + C}\).
Znając
\(\displaystyle{ U}\) i
\(\displaystyle{ V}\) wyznaczmy
\(\displaystyle{ f}\). W tym celu możemy zapisać:
\(\displaystyle{ $ \begin{eqnarray*} f(z) & = & U(x,y) + i V(x,y) = x^3 - 3 xy^2 + x + i(y - y^3 + 3 x^2 y + C) \\ & = & (x+iy)^3 + ( x+ iy) + i C = z^3 + z + i C \end{eqnarray*}}\)