Matematyka.pl

1. Wykaż, że stosunek długości promienia kuli wpisanej w czworościan foremny do długości wysokości czworościanu jest równy 1:4.

domyslam sei ze trzeba korzystac z podobienstwa jakichs trojkatow, ale nie umiem tego tak narysowac zeby to sens jakis mialo.

2. Dany jest sześcian o krawędzi a. Środki jego ścian łączymy kolejno odcinkami. Środki ścian otrzymanego ośmiościanu znowu łączymy odcinkami itd. Oblicz sumę objętości wszystkich otrzymanych w ten sposób sześcianów.

tutaj domyślam się ze to jakis szereg jest, ale nie wiem jak udowodnić o ile zmniejsza się długość krawędzi szescianu za kazdym razem.

z gory dzieki za pomoc.

1.
\(\displaystyle{ h=\sqrt{\frac{2}{3}}a}\) (można z Pitagorasa)

Z trójkątów prostokątnych podobnych (drugi ,,siedzi" w pierwszym) :
I. wysokość ostrosłupa; wysokość jego ściany; trzecia część wysokości ściany

II. \(\displaystyle{ r}\) (szukane); dwie trzecie wysokości ściany; (przeciwprostokątna nieistotna)

dostaniesz \(\displaystyle{ r=\frac{\sqrt{6}a}{12}}\)

2.
Ośmiościan składa się z dwóch ,,sklejonych" podstawami ostrosłupów czworokątnych o ścianach bocznych będących trójkątami równobocznymi.
Odległość ,,środków" dwóch przeciwległych ścian bocznych to długość przekątnych ścian nowego sześcianu.
Mając przekątną obliczamy krawędź.

Dostałem \(\displaystyle{ a_1=\frac{\sqrt 6 a}{6}}\) (wyniku nie znam; mogłem się pomylić w rachunkach).