Matematyka.pl

Trzeba udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{12}}\) jest liczbą niewymierną:)
pozdr

Rozważmy wielomian \(\displaystyle{ f(x) = x^2-12}\).

Wszystkie możliwe pierwiastki wymierne są ze zbioru \(\displaystyle{ \{\pm 1, 2, 3, 4, 6, 12\}}\), jednak dla żadnej z tych liczb wielomian sie nie zeruje, a możemy zapisać go w postaci \(\displaystyle{ f(x) = (x+\sqrt{12})(x-\sqrt{12})}\), więc rzeczywiście \(\displaystyle{ \sqrt{12}}\) jest liczbą niewymierną.

Hmm, ciekawy dowód Co nam daje (i do czego jest potrzebna) ta druga własność (ten rozkład)?

ps. jeśli ktoś zna jeszcze jakiś inny dowód to zapraszam

Rozłożyłem po prostu ten wielomian na czynniki, by było widać, jakie ma pierwiastki. Skoro ma dwa i nie ma wymiernych, to oba są niewymierne.

Dowód nie wprost
Załóżmy, że istnieje ułamek nieskracalny \(\displaystyle{ \frac{p}{q}=\sqrt12}\)
Podnosząc obie strony równania do kwadratu otrzymujemy: \(\displaystyle{ \frac{p^2}{q^2}=12}\) tzn. \(\displaystyle{ p^2=12\cdot q^2}\)
Przypuśćmy, że liczby p i q rozłożyliśmy na czynniki pierwsze.
1.Po lewej stronie równania czynnik 12 nie występuje wcale lub występuje parzystą liczbę razy.
2.Po prawej str. równania, tzn. w iloczynie \(\displaystyle{ 12\cdot q q}\):
a)jeśli w liczbie q występuje czynnik 12, to w iloczynie \(\displaystyle{ 12\cdot q\cdot q}\) występuje nieparzystą liczbę razy
b) jeśli w liczbie q nie występuje czynnik 12, to w iloczynie \(\displaystyle{ 12\cdot q\cdot q}\) czynnik 12 występuje nieparzystą liczbę razy
Stąd wynika, że iloczyny \(\displaystyle{ p\cdot p=12\cdot q\cdot q}\) nie mogą być równe.
Założenie prowadzi do sprzeczności, stąd liczba \(\displaystyle{ \sqrt12}\) nie jest liczbą wymierną.

Wielkie dzięki

Może być jeszcze taki:
Dowód nie wprost: załóżmy, że \(\displaystyle{ \sqrt{12}}\) jest liczbą wymierną, istnieją wtedy dwie liczby całkowite (w naszym przypadku nawet naturalne) p i q, takie, że \(\displaystyle{ \frac pq=\sqrt{12}}\), wynika stąd, że \(\displaystyle{ p^2=12q^2}\), czyli \(\displaystyle{ p^2=2\cdot2\cdot3q^2}\). A równanie to jest nierozwiązywalne w zbiorze liczb naturalnych, gdyż rozpatrując rozkłady na czynniki pierwsze stwierdzamy, że \(\displaystyle{ p^2}\) jest iloczynem parzystej liczby liczb pierwszych a \(\displaystyle{ 2\cdot2\cdot3\cdot q^2}\) nieparzystej liczby liczb pierwszych.

Mam pewną uwagę do dowodu Mersenne: liczba 12 nie jest liczbą pierwszą a dowód jest zrobiony tak jaby taką była.