Matematyka.pl

jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa, którego podstawą jest prostokąt, ma długość b i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Najdłuższa krawędź boczna ostrosłupa tworzy z podstawą kąt o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\), a z jedną z sąsiednich krawędzi bocznych kąt BETA. Wyznacz objętość ostrosłupa.

b to wysokość ostrosłupa (bo jest prostopadła do podstawy).

Żeby wyliczyć jedną z krawędzi podstawy, musimy mieć \(\displaystyle{ |BW|=\frac{b}{\sin \alpha}}\), którą podstawiamy:
\(\displaystyle{ |BC|=|BW|\sin \beta = b\cdot\frac{\sin \beta}{\sin \alpha}}\)

Drugą krawędź podstawy wyliczymi z Pitagorasa, ale najpierw potrzebujemy \(\displaystyle{ |BD|=b\cdot \ctg\alpha}\)
I teraz:
\(\displaystyle{ |CD|=\sqrt{|BD|^{2}-|BC|^{2}}=b\sqrt{\frac{\cos ^{2}\alpha}{\sin ^{2}\alpha}-\frac{\sin ^{2}\beta}{\sin ^{2}\alpha}}=b\frac{\sqrt{\cos ^{2}\alpha-\sin ^{2}\beta}}{\sin \alpha}}\)

\(\displaystyle{ |BC|=|BW|sin\beta}\)

Skąd się to bierze?

BCW jest prostokątny.

Czy to wynika z tego, że BC jest prostopadły do CD, który jest rzutem prostokątnym CW, więc BC jest też prostopadły do CW (czyli kąt prosty jest przy wierzchołku C)?

tak