Matematyka.pl

zbadaj zbieżność całki:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{dx}{{e^ \sqrt{x}} -1}}\)

proszę o pomoc w rozwiązaniu

2 razy podstawienie i przejście do granicy.

pierwsze podstawienie: \(\displaystyle{ t = \sqrt{x}}\)
drugie podstawienie: \(\displaystyle{ z = e^{t} - 1}\)

Nie zapominając o zmianie granic całkowaina.

a mógłbyś przedstawić rozwiązanie?

po czterech podstawieniach wróciłem do początku.
ta całka jest chyba nieelementarna, a takie nie wiem jak liczyć.

sorry za błędy,
pzdr

może ktoś inny ma jeszcze pomysł?

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt x}{e^{\sqrt x}-1}=1}\)

Zbieżność danej całki jest więc równoważna zbieżności całki:

\(\displaystyle{ \int_0^1\frac{\mbox{d}x}{\sqrt x}}\)
Ta całka jest zbieżna, więc dana również.

a jak dojsc do tego oszacowania:

\(\displaystyle{ \frac{1}{e^{\sqrt x}-1}}\le\frac{2}{\sqrt x}}\)


bo nie bardzo rozumiem?

Skoro

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt x}{e^{\sqrt x}-1}=1}\)

to dla \(\displaystyle{ x}\) odpowiednio blisko \(\displaystyle{ 0}\) wartości funkcji \(\displaystyle{ \frac{\sqrt x}{e^{\sqrt x}-1}}\) są blisko liczby \(\displaystyle{ 1}\), na przykład:

\(\displaystyle{ \frac 12\le\frac{\sqrt x}{e^{\sqrt x}-1}\le 2}\)

Zatem dla takich \(\displaystyle{ x}\) mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt x}\le\frac{1}{e^{\sqrt x}-1}\le\frac{2}{\sqrt x}}\)

Grube szacowanie, żadna filozofia.

a skąd się wzięło to? skąd ta granica?


\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt x}{e^{\sqrt x}-1}=1}\)

Na przykład z d'H. Napiszę po odwróceniu, bo w takiej postaci sieę to na ogół spotyka:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0_+}\frac{e^{\sqrt x}-1}{\sqrt x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(e^x-1)'}{x'}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x}{1}=e^0=1}\)