Strona 1 z 1
Promień kuli wpisanej w czworościan foremny. Dowód.
: 25 mar 2009, o 23:15
autor: Grzesiek113
Witam,
czy ktoś potrafiłby udowodnić wzór na promień kuli wpisanej w czworościan foremny o boku a?
Ten wzór to: \(\displaystyle{ r= \frac{a \sqrt{6} }{12}}\)
Promień kuli wpisanej w czworościan foremny. Dowód.
: 26 mar 2009, o 11:16
autor: lukasz1804
Zanotujmy najpierw nieco ogólniejsze twierdzenie:
Niech A będzie dowolnym punktem należącym do wnętrza czworościanu foremnego. Wówczas suma odległości punktu A od ścian czworościanu jest równa wysokości \(\displaystyle{ h}\) tego czworościanu.
Szkic dowodu. Połączmy punkt A z każdym wierzchołkiem czworościanu. Otrzymamy podział danego czworościanu foremnego na 4 mniejsze czworościany, więc objętość "dużego" czworościanu jest równa sumie objetości 4 "małych" czworościanów. Co więcej, każdy z "małych" czworościanów ma takie samo pole podstawy. Stąd i ze wzoru na objętość ostrosłupa łatwo wynika teza.
Weźmy teraz za punkt A środek kuli wpisanej w czworościan. Wówczas odległość punktu A od ściany czworościanu jest stała i równa promieniowi r tej kuli. Zatem \(\displaystyle{ h=4r}\).
Z twierdzenia Pitagorasa łatwo wynika, że wysokość czworościanu fomrenego o krawędzi \(\displaystyle{ a}\) ma długość \(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{6}}{3}}\). Stąd i z powyższego wynika żądany wzór.