równanie różniczkowe I rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
ernest180
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 7 maja 2008, o 10:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ZAMCH

równanie różniczkowe I rzędu

Post autor: ernest180 » 23 mar 2009, o 18:10

\(y'+ \frac{xy}{ a^{2}+ x^{2}}= \frac{ \sqrt{a^{2}+ x^{2}} }{ x^{2} } }\)
Ostatnio zmieniony 23 mar 2009, o 18:16 przez luka52, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Jeden wyraz na nazwę tematu to zdecydowanie za mało. Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by lepiej wskazywały o czym może być treść zadania.

lukasz1804
Moderator
Moderator
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

równanie różniczkowe I rzędu

Post autor: lukasz1804 » 23 mar 2009, o 19:59

Określmy \(a(x)=-\frac{x}{a^2+x^2}\) oraz \(b(x)=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x^2}\). Mamy \(A(x)=\int a(x)dx=-\frac{1}{2}\ln(a^2+x^2)=-\ln\sqrt{a^2+x^2}\) oraz \(B(x)=\int b(x)e^{-A(x)}dx=\int\frac{a^2+x^2}{x^2}dx=x-\frac{a^2}{x}\) (a i b są ustalonymi funkcjami pierwotnymi). Zatem ogólne rozwiązanie równania jest postaci \(\varphi_C(x)=(B(x)+C)e^{A(x)}=(x-\frac{a^2}{x}+C)\cdot\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\), gdzie \(C\in\mathbb{R}\) jest dowolną stałą.

ODPOWIEDZ