Matematyka.pl

Zbadaj niezależność podanego układu wektorów w przestrzeni liniowej R^3:

W1=(1,3,5)
W2=(1,0,2)
W3=(0,-1,3)
W4=(1,1,2)

4 wektory w przestrzeni R� są zawsze liniowo zależne...

Możesz mi wyjaśnić dlaczego układ czterech wektorów jest zawsze zależny? A co z układem trzech wektorów? Z nim to chyba jest odwrotnie. Ale nie umiem tego wyjaśnić.

No odwrotnie nie jest, bynajmniej nie zawsze

Układ wektorów jest liniowo niezależny, jeżeli z równości
\(\displaystyle{ \Large \bigsum_{i=1}^{n}C_{i} \vec{X_{i}}=0 \; \; \forall i (1,2,...,n) : \; C_{i}=0}\).

Inaczej mówiąc, takie równanie macierzowe [układ równań] którego macierz składa się z kolumn będących sprawdzanymi wektorami, ma JEDYNIE zerowe rozwiązanie.

Z tw. Kroneckera-Capellego wynika, że sprowadza się to do sprawdzenia, czy wyznacznik tej macierzy jest różny od zera - wtedy układ wektorów jest liniowo niezależny.

PawelJan pisze: Układ wektorów jest liniowo niezależny, jeżeli z równości
\(\displaystyle{ \Large \bigsum_{i=1}^{n}C_{i} \vec{X_{i}} \forall i (1,2,...,n) : \; C_{i}=0}\).

tutaj czegoś brakuje

Oczywiście, już poprawiam

Gratuluję spostrzegawczości w końcu z równości miało coś wynikać, a jej wcale nie było