MZM wojewódzki 21.03.2009 klasa II rozszerzony [Kraków]

[bzyk12]

Etap wojewódzki 21.03.2009 klasa II rozszerzony

1)
Przedstaw liczbę 2009 jako sumę kolejnych liczb naturalnych. Przedstaw wszystkie możliwości.
2)
Znajdź wszystkie liczby całkowite a,b,c tekie, że trójmian \(\displaystyle{ ax ^{2} +bx+c}\) ma pierwiastki:
x1=a i x2=b
3)
Wykaż, że jeśli pole czworokata wypukłego jest równe 1, to suma jego długości boków jest nie mniejsza niż 4.
4)
Niech a i b będą liczbami całkowitymi. Wiadomo, że liczba \(\displaystyle{ 2+ \sqrt{3}}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W _{(x)}=x ^{3}+x ^{2}+ax+b}\). Znajdź pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
5)
Oblicz wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ ( \sqrt[m]{x}+ \sqrt[n]{x}) ^{2} -4a ^{2} \cdot \sqrt[m \cdot n]{ x^{m+n} }}\) dla \(\displaystyle{ x=(a+ \sqrt{a ^{2}-1 } ) ^{ \frac{2mn}{m-n} }}\)

Tutaj możecie rozwiązywać te zadania.

[frej]

1) Zapisać to z sumy ciągu arytmetycznego i pamiętać, że \(\displaystyle{ 2009=7^2\cdot 41}\)
2) Z Viete'a \(\displaystyle{ \frac{c}{a}=ab}\), uzależnić \(\displaystyle{ c}\) od pozostałych dwóch zmiennych i skorzystać z Bezout \(\displaystyle{ f(a)=f(b)=0}\)

-- 22 marca 2009, 12:39 --

4) \(\displaystyle{ W(2+\sqrt{3})=0}\) z tego powinien wyjść układ równań porównujący części niewymierne i całkowite.

[mnij]

eh ja tego zawaliłem 2 etap, ale 3 etap wygląda przyjemnie :]

[kluczyk]

Jak zrobić ostatnie?

[bzyk12]

Też nie zrobiłem ostatniego i trzeciego. Mógłby ktoś podac rozwiązanie

[frej]

bzyk12, piąte jest dobrze przepisane?

[bzyk12]

tak dokładnie tak jak było na kartce

[patry93]

Coś tam próbowałem kombinować z zadaniem 3, wyszło mi... jakby przeciwieństwo tezy Nie wiem gdzie mam błąd niestety... a może treść miała być inna? Sprawdźcie proszę

Ukryta treść:    

Najpierw mały lemacik: mając trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) taki, że \(\displaystyle{ AB=a, \ BC=b, \ CA=c}\) i rysując wysokość \(\displaystyle{ h_a}\) opuszczoną na bok \(\displaystyle{ AB}\) mamy \(\displaystyle{ h_a \le b , \ h_a \le c}\), ponieważ te nierówności zawsze zachodzą w trójkącie prostokątnym.
Z tego mamy \(\displaystyle{ \frac{a \cdot h_{a}}{2} \le \frac{ab}{2} , \ \frac{a \cdot h_{a}}{2} \le \frac{ac}{2}}\)
Analogicznie prowadząc drugą wysokość otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{a \cdot h_{a}}{2} \le \frac{bc}{2}}\)
Natomiast samo \(\displaystyle{ \frac{a \cdot h_{a}}{2}}\) jest to oczywiście pole danego trójkąta.

Przejdźmy teraz do samego zadania. Oznaczmy wierzchołki tego czworokąta przez \(\displaystyle{ A, \ B, \ C, \ D}\) oraz niech \(\displaystyle{ AB=a, \ BC=b, \ CD=c, \ AD=d}\)
Z lematu mamy
\(\displaystyle{ [ABD] \le \frac{ad}{2} \ , \ [BCD] \le \frac{bc}{2}}\)
Skorzystamy teraz z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną, mamy
\(\displaystyle{ [ABD] \le \frac{ad}{2} \le ( \frac{ \frac{a}{ \sqrt{2}} + \frac{d}{ \sqrt{2}}}{2} )^{2}}\)
Analogicznie robimy dla [BCD] i sumujemy uzyskane nierówności:
\(\displaystyle{ [ABD] + [BCD] = 1 \le ( \frac{ \frac{a}{ \sqrt{2}} + \frac{d}{ \sqrt{2}}}{2} )^{2} + ( \frac{ \frac{b}{ \sqrt{2}} + \frac{c}{ \sqrt{2}}}{2} )^{2} \\ \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{2} + ad + bc \ge 4 \\ \frac{a^2 + 2ad + d^2 + b^2 + 2bc + c^2}{2} \ge 4 \\ \sqrt{ \frac{ (a+d)^2 + (b+c)^2 }{2} } \ge \sqrt{4} = 2}\)
Teraz korzystamy z nierówności pomiędzy śr. kwadratową i arytmetyczną
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{ (a+d)^2 + (b+c)^2 }{2} } = 2 \ge \frac{ (a+d) + (b+c) }{2} \\ a+b+c+d \le 4}\)

[bzyk12]

treść jest w porządku

[binaj]

ładny dowód lematu ale idzie szybciej ze wzoru \(\displaystyle{ S= \frac{1}{2}ab\sin\alpha}\) i sinusa ograniczamy przez 1
w rozwiązaniu jest błąd logiczny:

(1)\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{ (a+d)^2 + (b+c)^2 }{2} } \ge 2}\)
(2)\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{ (a+d)^2 + (b+c)^2 }{2} } \ge \frac{ (a+d) + (b+c) }{2}}\)

ale teraz nie możemy porównać prawych stron nierówności bo o nich nic nie wiemy
np. z nierówności 5>2 i 5>4, nie wynika 2>4

wskazówka: zapisz podwojone pole jak sumę pól 4 trójkątów i dalej ze średnich

[patry93]

Ach, no tak
Hm, mógłbyś podpowiedzieć jeszcze jak to ze średnich dalej ruszyć?
Z Twojego sposobu doszedłem tylko do \(\displaystyle{ ab+bc+cd+ad \ge 4}\) i nie widzę nic dalej

[Psycho]

Zauważ, że \(\displaystyle{ ab + bc + cd + ad = (a + c)(b + d)}\) i teraz ze średnich

[bzyk12]

a zrobił ktoś piąte?

[kluczyk]

Ja to 3 robiłem podejrzanie, ponieważ okazałem, że największe pole wśród czworokątów o ustalonym obwodzie ma kwadrat i żeby ten czworokąt(jeśli nie chce być kwadratem) dorównał polu kwadratu(którego pole ustaliłem za 1) to musi sobie obwód zwiększyć.
A nad 5 spędziłem 40 min, zwijałem, zwijałem, ale niestety nic ;/

[bzyk12]

Dla zainteresowanych mam rozwiązanie zadania 5 od mojego nauczyciela:
\(\displaystyle{ (a+ \sqrt{a ^{2}-1 })=t}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a ^{2}-1 }=t-a}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}-1=t ^{2}-2at+a ^{2}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{t ^{2}+1 }{2t}}\)

\(\displaystyle{ (t ^{ \frac{2mn}{m-n} \cdot \frac{1}{n} }+t ^{ \frac{2mn}{m-n} \cdot \frac{1}{m} }) ^{2} -4 \cdot \frac{t ^{4}+2t ^{2}+1 }{4t ^{2} } \cdot t ^{ \frac{2mn}{m-n} \cdot \frac{m+n}{mn} }}\)

\(\displaystyle{ t ^{ \frac{4m}{m-n} } +t ^{ \frac{4n}{m-n} }+2 \cdot t ^{ \frac{2(m+n)}{m-n} }-(t ^{2}+2+t ^{-2}) \cdot t ^{ \frac{2(m+n)}{m-n} }}\)
\(\displaystyle{ t ^{ \frac{4m}{m-n} } +t ^{ \frac{4n}{m-n} }+2 \cdot t ^{ \frac{2(m+n)}{m-n} }-t ^{2+\frac{2(m+n)}{m-n}}-2 \cdot t ^{ \frac{2(m+n)}{m-n} } -t ^{\frac{2(m+n)}{m-n}-2}}\)
\(\displaystyle{ t ^{ \frac{4m}{m-n} } +t ^{ \frac{4n}{m-n} }+2 \cdot t ^{ \frac{2(m+n)}{m-n} }-t ^{ \frac{4m}{m-n} }-2 \cdot t ^{ \frac{2(m+n)}{m-n} }-t ^{ \frac{4n}{m-n} }=0}\)