Matematyka.pl

Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W(1,4). Najmniejsza wartośc funkcji f w przedziale <-2,2> wynosi -5.
a. Przedstaw wzór funkcji f w postaci iloczynowej.
b. Rozwiąż nierównośc f(x)<0.

Co do podpunktu a). Masz dany pierzchołek \(\displaystyle{ W=(1;4)}\), najmniejsza wartość w przedziale \(\displaystyle{ <-2;2>}\) to \(\displaystyle{ -5}\), więc \(\displaystyle{ f(-2) = -5}\).

\(\displaystyle{ W=(1;4)}\)
\(\displaystyle{ y = a(x - 1)^{2} + 4}\)
\(\displaystyle{ P = (-2,-5);}\)
\(\displaystyle{ -5 = a(1+2)^{2} + 4}\)
\(\displaystyle{ a= -1}\)
\(\displaystyle{ y = -(x - 1)^{2} + 4}\)

b)
\(\displaystyle{ y = -(x - 1)^{2} + 4}\)
\(\displaystyle{ y = x^{2} - 2x -3}\)
\(\displaystyle{ x^{2} - 2x -3<0}\)

Przyrównujemy do 0

\(\displaystyle{ x^{2} - 2x -3=0}\)


\(\displaystyle{ \Delta = 16}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 4}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = -1}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = 3}\)

\(\displaystyle{ y<0 <=> x \subset <-\infty; -1> \upsilon <3; \infty>}\)

skad wynika ze \(\displaystyle{ f(-2)=-5}\)

Patryczek chciałem zauważyć, że w poleceniu jest podać wzór funkcji w postaci iloczynowej, a nie w kanonicznej , ale dzięki temu wyprowadzeniu mamy współczynnik a=-1, później po wyliczeniach wychodzi b=2, c=3. Wyliczając delte wychodzą nam dwa miejsca zerowe -1,3 i mamy postać iloczynową

\(\displaystyle{ y=-(x+1)(x-3)}\)