Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania:

Jeśli A jest macierzą symetryczną to jej największą co do wartości bezwzględnej wartość własną λ można otrzymać z następującej procedury iteracyjnej.

1. Wybieramy losowy wektor \(\displaystyle{ \vec{y}_{0}}\) i podstawiamy \(\displaystyle{ \vec{x}_{1}}\) := \(\displaystyle{ \frac{1}{|\vec{y}_{0}|} \vec{y}_{0}}\)

2. Kontynuujemy biorąc \(\displaystyle{ \vec{y}_{i} := A\vec{x}_{i}}\), \(\displaystyle{ \vec{x}_{i+1} := \frac{1}{|\vec{y}_{i}|} \vec{y}_{i}}\)

W granicy dostajemy \(\displaystyle{ A\vec{x}_{n}}\) ≈ λ\(\displaystyle{ \vec{x}_{n}}\)

Napisać program, który znajduje dominującą wartość własną i jej wektor własny dla macierzy:

a) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}6&4&4&1\\4&6&1&4\\4&1&6&4\\1&4&4&6\end{array}\right]}\)

b) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&1&3&4\\1&-3&1&5\\3&1&6&-2\\4&5&-2&-1\end{array}\right]}\)

poprzez wyznaczenie \(\displaystyle{ {x}_{50}}\).

Przyjacielu, napisz dokładnie, w czym masz problem bo wątpię że tu będzie ktoś programy pisał...

Ja się do tego zabrać? Na jaki temat szukać materiały. jakiej metody (numerycznej) użyć? Itp... Jak już będę wiedział jak to rozwiązać, to przedstawienie tego w excelu czy w pascalu (bo tak ma to być zrobione) nie będzie stanowiło raczej problemu.

No specem od programowania to Ty powinieneś być, żeby metodę ustalić

My możemy pomóc np. w mnożeniu macierzowym Axi jeżeli go nie rozumiesz...

Hmm.. no to może zapiszę tak:

Masz macierze 4. stopnia, więc będziesz operował na 4 ich współrzędnych.
Startujesz od wybrania dowolnego wektora o czterech współrzędnych \(\displaystyle{ \vec{y}_{0}=(y^{1}_{0},y^{2}_{0},y^{3}_{0},y^{4}_{0})}\). Potem go normalizujesz, czyli jak masz napisane \(\displaystyle{ \vec{x}_{1}}\) := \(\displaystyle{ \frac{1}{|\vec{y}_{0}|} \vec{y}_{0}}\) jest to nic innego jak podzielenie tego wektora przez jego długość: \(\displaystyle{ |\vec{y}_{0}|=sqrt{(y^{1}_{0})^{2}+(y^{2}_{0})^{2}+(y^{3}_{0})^{2}+(y^{4}_{0})^{2}}}\)

Oznacza to, że każdą współrzędną wektora yo dzielisz przez tę liczbę powyżej. Otrzymujesz w ten sposób nowy wektor x1.
Teraz szukasz iloczynu A*x1, powstaje nowy wektor y1 o współrzędnych odpowiednio: pierwsza - jest sumą iloczynów elementów pierwszego wiersza macierzy przez odpowiednie współrzędne x1: dla Twej pierwszej macierzy masz \(\displaystyle{ y^{1}_{1}=6*x_{1}^{1}+ 4*x_{1}^{2}+4*x_{1}^{3}+1*x_{1}^{4}}\), analogicznie dla pozostałych współrzędnych wektora y1 kolejne wiersze macierzy.

Następnie znowu dzielisz wszystkie współrzędne wektora y1 przez jego długość, obliczoną analogicznym pierwiastkiem do tego powyżej, tylko wskaźnik dolny nie 0 lecz 1. No i lecisz od początku.

OK, widze, że excel nada się do tego najlepiej. Przeanalizuje to i spróbuje coś wykminić. Ewentualnie się jeszcze coś spytam.

To ja poproszę kopię

Przekazuje do zobaczenia/sprawdzenia wersje pierwszą:

Co ty na to? Początki dobre?

[ Dodano: Sob Sty 28, 2006 7:52 pm ]
Tak właściwie to ja mam tych obliczeń zrobić aż 50? To duzo roboty, bo to nie jest poprostu przeciągnięcie poprzednich wyników i automatyczna obliczenie...

I to już koniec? Nic więcej nie trzeba już zrobić? :>

Dzięki!

No trzeba odczytać ten wektor własny i wartość własną

A jak podstawiłem macierz B to już tak pieknie to nie wygląda. Nie kończą się obliczenia przy ok. 20 kroku tak jak z macierzą A... W ogóle nię nie kończą. Widze, że jakoś się to zapętla.

Wektorem własnym będzie wartość y, która się powtarza po n-tym kroku?
A wartością pewnie |yn|, zgadza się?

Tak, do tego się sprowadza wartość własna, ale wektor własny to Xn.

Co do wartości - no cóż, takie wychodzą, po 600. kroku się stabilizuje