Matematyka.pl

Czy istnieje baza przeliczalna iloczynu kartezjanskiego odcinka [0,1] do potegi continuum z topologia Tichonowa? I jak to uzasadnic? Najlepiej bez uzycia pojecia ciezaru przestrzeni i twierdzenia na tym opartego (nie pamietam jak sie nazywalo). Jest to zadanie jakiem mialem ostatnio na kolokwium, ktore jak sie okazalo nawet prowadzacy za bardzo nie potrafil zrobic... chociaz w koncu zrobil, ale oparl sie na pojeciach i twierdzeniach, ktore jak sie okazalo nie wprowadzil ani on ani wykladowca. W zasadzie to rozwiazanie tego problemu nie jest mi do niczego potrzebne, ale troche mnie to ciekawi, a nie mam czasu za bardzo nad tym teraz siedziec, gdyz wiadomo - sesja...

Przestrzeń \(\displaystyle{ [0,1]^{[0,1]}}\) jest zwarta jako produkt przestrzeni zwartych. Przestrzeń metryzowalna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągowo zwarta. Ta przestrzeń nie jest jednak ciągowo zwarta bo jej domknięta podprzestrzeń \(\displaystyle{ \{0,1\}^{[0,1]}}\) nie jest ciągowo zwarta (). Teraz wystarczy użyć twierdzenia mówiącego, iż .

Wniosek: \(\displaystyle{ [0,1]^{[0,1]}}\) nie ma bazy przeliczalnej.

Cześć,

Rozwiązanie czysto z własności topologii produktowej:
Każdy niepusty zbiór otwarty w \(\displaystyle{ [0,1]^{[0,1]}}\) ma tę własność że jest równy \(\displaystyle{ [0,1]}\) na wszystkich współrzędnych poza skończenie wieloma (bo baza tej przestrzeni składa się ze zbiorów takiej postaci, więc oczywiście każdy inny zbiór, jako suma zbiorów tej postaci, dalej ma tę własność). Ustalmy zatem dowolną przeliczalną rodzinę niepustych zbiorów otwartych \(\displaystyle{ U_n}\). Wówczas znajdziemy nieprzeliczalnie wiele współrzędnych na których wszystkie te zbiory są równe całemu \(\displaystyle{ [0,1]}\). Biorąc zatem zbiór otwarty \(\displaystyle{ V}\), który na jednej z tych współrzędnych jest podzbiorem właściwym \(\displaystyle{ [0,1]}\) otrzymujemy zbiór otwarty którego nie jesteśmy w stanie wysumować podrodziną rodziny \(\displaystyle{ (U_n)_{n\in \mathbb{N}}}\). Zatem \(\displaystyle{ (U_n)_{n\in \mathbb{N}}}\) nie może być bazą.

Udowodniliśmy że żadna przeliczalna rodzina zbiorów otwartych nie może być bazą \(\displaystyle{ [0,1]^{[0,1]}}\), więc ta przestrzeń nie ma bazy przeliczalnej.

Jeśli się nie mylę dokładnie taki sam dowód przeszedłby dla mocniejszego twierdzenia:

Jeżeli \(\displaystyle{ (X_{\alpha})_{\alpha\in A}}\) jest nieprzeliczalną rodziną przestrzeni topologicznych o topologii różnej niż dyskretna (tzn. dla każdego \(\displaystyle{ \alpha}\) istnieje \(\displaystyle{ \emptyset\neq U_\alpha\neq X_\alpha}\) będący otwartym podzbiorem \(\displaystyle{ X_\alpha}\)), to \(\displaystyle{ \prod_{\alpha\in A}X_\alpha}\) nie ma bazy przeliczalnej.

Archeolodzy się znaleźli
Dzięki za odpowiedzi, ale przestały mnie one interesować jakieś 7 lat temu

Nie o to chodzi czy Cię interesują. Pytania zainteresowały Spektralnego. Pytając na forum upubliczniasz swój problem i od tej pory nieważne co Cię interesuje.