Matematyka.pl

Zadanie 1
Uzasadnij, że suma odległości dowolnego punktu płaszczyzny od wierzchołków danego czworokąta jest większa od połowy obwodu tego czworokąta.
Zadanie 2
Uzasadnij, że suma odległości punktu przecięcia przekątnych czworokąta od wierzchołków czworokąta jest minimalana (tzn. jest mniejsza niż suma odległości dowolnego innego punktu płaszczyzny od wierzchoków tego czworokąta).
Zadania 3
Punkt X jest dowolnym punktem leżącym w wewnątrz równoległoboku ABCD.
Uzasadnij, że
\(\displaystyle{ \left| AX\right|< \left|BX \right|+ \left| CX\right| + \left|DX \right|}\)

A,B,C,D-boki czworokąta
P-punkt wewnątrz
Korzystasz z nierówności trójkąta
\(\displaystyle{ \begin{cases} |AP|+|BP|>|AB|\\|BP|+|CP|>|BC| \\ |CP|+|DP|>|CD|\\|DP|+|AP|>|DA| \end{cases}}\)
Dodając stronami otrzymujesz
\(\displaystyle{ 2|AP|+2|BP|+2|CP|+2|DP|>|AB|+|BC|+|CD|+|DA|}\)
\(\displaystyle{ |AP|+|BP|+|CP|+|DP|>\frac{|AB|+|BC|+|CD|+|DA|}{2}}\)