Matematyka.pl

Uczę się właśnie liczyć całek i mam prośbę aby ktoś mi sprawdził czy dobrze rozwiązuje;

\(\displaystyle{ \int_{}^{}(5x ^{2}+ 3x-2+ \frac{1}{2x})dx}\)
= \(\displaystyle{ \frac{5}{3}x^{3}+ \frac{3}{2}x ^{2}- 2x+1 \cdot ln|2|+C}\)-- 16 mar 2009, o 11:29 --drugi przykład

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{(x-1) ^{2} }{ \sqrt{x} }dx}\) = \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x ^{2} -2x-1}{ \sqrt{x} }dx}\) = \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x ^{2} }{ \sqrt{x} }- \frac{2x}{ \sqrt{x}}- \frac{1}{ \sqrt{x} }dx}\)=
= \(\displaystyle{ \int_{}^{}x ^{ \frac{3}{2}}-2x ^{ \frac{1}{2}}-x ^{ \frac{1}{2} }}\)= \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \sqrt{x}- \frac{1}{4} \sqrt{x}-2 \sqrt{x}+C}\)

pawel1a pisze:Uczę się właśnie liczyć całek i mam prośbę aby ktoś mi sprawdził czy dobrze rozwiązuje;

\(\displaystyle{ \int_{}^{}(5x ^{2}+ 3x-2+ \frac{1}{2x})dx}\)
= \(\displaystyle{ \frac{5}{3}x^{3}+ \frac{3}{2}x ^{2}- 2x+1 \cdot ln|2|+C}\)

=\(\displaystyle{ \frac{5}{3}x^{3}+ \frac{3}{2}x ^{2}- 2x + \frac{1}{2}ln|2x|+C}\)

drugi przykład

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{(x-1) ^{2} }{ \sqrt{x} }dx}\) = \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x ^{2} -2x-1}{ \sqrt{x} }dx}\) = \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x ^{2} }{ \sqrt{x} }- \frac{2x}{ \sqrt{x}}- \frac{1}{ \sqrt{x} }dx}\)=
= \(\displaystyle{ \int_{}^{}x ^{ \frac{3}{2}}-2x ^{ \frac{1}{2}}-x ^{ \frac{1}{2} }}\)= \(\displaystyle{ \frac{2}{3} \sqrt{x}- \frac{1}{4} \sqrt{x}-2 \sqrt{x}+C}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{(x-1) ^{2} }{ \sqrt{x} }dx = \int_{}^{} \frac{x ^{2} -2x+1}{ \sqrt{x} }dx= \int_{}^{} \frac{x ^{2} }{ \sqrt{x} }- \frac{2x}{ \sqrt{x}}+ \frac{1}{ \sqrt{x} }dx= \int x^{ \frac{3}{2}} - 2x^{ \frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}= \frac{2}{5}x^{ \frac{5}{2}} - \frac{4}{3}x^{ \frac{3}{2}} + 2x^{ \frac{1}{2}}+C = \frac{2}{5} \sqrt{x^5} - \frac{4}{3} \sqrt{x^3} + 2 \sqrt{x}+C}\)

= \(\displaystyle{ \frac{2}{5}x^{ \frac{5}{2}} - \frac{4}{3}x^{ \frac{3}{2}} + 2x^{ \frac{1}{2}}+C}\)

czy mógłby mi ktoś krok po kroku wyjaśnić skąd się wzieły te pierwsze dwa czynniki bo \(\displaystyle{ 2x^{ \frac{1}{2} }}\) to wiem skąd jest

\(\displaystyle{ \int x^n dx = \frac{1}{1+n} x^{n+1}+C}\)

\(\displaystyle{ \int x^{ \frac{3}{2}} - 2x^{ \frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{1+ \frac{3}{2} }x^{1+ \frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{1}{1+ \frac{1}{2} }x^{1+ \frac{1}{2}} + \frac{1}{1- \frac{1}{2} } x^{ 1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{ \frac{5}{2} } x^{ \frac{5}{2}} - \frac{2}{ \frac{3}{2} }x^{ \frac{3}{2}} + \frac{1}{ \frac{1}{2} }x^{ \frac{1}{2}} = \frac{2}{5}x^{ \frac{5}{2}} - \frac{4}{3}x^{ \frac{3}{2}} + 2x^ \frac{1}{2}}}\)