Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie trójki (a,b,c) liczb rzeczywistych spełniające układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+b^2+c^2 = 23 \\ a + 2b + 4c = 22 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}a^2+b^2+c^2=23 \\ 2a+4b+8c=44 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a^2-2a+1+b^2-4b+4+c^2-8c+16=0}\)

\(\displaystyle{ (a-1)^2+(b-2)^2+(c-4)^2=0}\)

czyli jedynymi trójkami spełniającymi ten układ są liczby:

a=1
b=2
c=4

Dokładnie tak.

A jest jakiś sposób na rozwiązywanie tego typu zadań? Skąd wiedziałeś żeby drugie z równań pomnożyć przez dwa?

Skojarzenia to po pierwsze. Wzory skróconego mnożenia mogłyby tu pomóc, wystarczy sprawdzić. Często w tego typu zadaniach, przy użyciu WSM wychodzi, że suma kwadratów jest równa zero itp. Akurat tutaj tak ładnie wychodzi Gdyby nie pomogło, trzeba szukać dalej.

Podstawcie sobie te liczby. Wychodzi? O co chodzi?

Ludzie. To nie były przekształcenia równoważne. Na koniec trzeba wstawić i sprawdzić. Okazuje się, że \(\displaystyle{ a, b, c \in \emptyset}\)

Może spróbować podstawień

\(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=\left( a+b+c\right)^2-2\left( ab+ac+bc\right) \\
a+b+c=22-\left( b+3c\right)\\
a=22-\left( 2b+4c\right)\\
\left( 22-\left( b+3c\right) \right)^2-2\left(\left(22-\left( 2b+4c\right) \right)\left( b+c\right)+bc \right)=23}\)

ale po co? zadanie zostało rozwiązane i ładniej i prościej zrobić się tego nie da. układ równań nie ma rozwiązań.