Matematyka.pl

Jak wykazać czy istnieją bądź nie, takie np. granice:
1)\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{x^3+y}{2x^2+y^4}}\)
2)\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{x^3}{2x^2+y^4}}\)
3)\(\displaystyle{ f(x,y)=\frac{1-xy}{x^2+y^2}}\)

Brakuje informacji w jakim punkcie mamy je obliczyć?
Potencjalnie chodzi o \(\displaystyle{ (x,y)\to (0,0)}\).
Aby wykazać, że granica istnieje, najlepiej wskazać ograniczenie dolne i górne funkcjami, które mają tę samą granicę. W przypadku podejrzenia, że granica nie istnieje, należy wskazać dwa różne ciągi \(\displaystyle{ ({x}_n, {y}_n)}\) oraz \(\displaystyle{ ({x}_m,{y}_m)}\) dążące do \(\displaystyle{ (0,0)}\), dla których granica wyjściowej funkcji jest różna.

Ad.1.
Weźmy ciągi \(\displaystyle{ ({x}_n, {y}_n)=(0,\frac{1}{n})}\), oraz \(\displaystyle{ ({x}_m,{y}_m)=(\frac{1}{m},0)}\). Oczywiście \(\displaystyle{ ({x}_n, {y}_n)\neq ({x}_m,{y}_m) \neq (0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}({x}_n, {y}_n)=(0,0)}\) i \(\displaystyle{ \lim_{m\to \infty}({x}_m, {y}_m)=(0,0)}\).
Podstawiając pierwszy z nich do funkcji \(\displaystyle{ f(x,y)}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}n^3 =\infty}\). Podstawiając drugi z nich do \(\displaystyle{ f(x,y)}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \lim_{m\to \infty} \frac{1}{2m}=0}\). Granice są różne, co oznacza, że granica wyjściowej funkcji w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) nie istnieje.