Matematyka.pl

Jak się bada ciągłość funkcji w punkcie w takich przypadkach i czy te funkcje będą ciągłe w pukcie (0,0):

\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, (x,y) \neq (0,0) \\ 0, (x,y) = (0,0) \end{cases}}\)


\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^2}, (x,y) \neq (0,0) \\ 0, (x,y) = (0,0) \end{cases}}\)

Dokonaj podstawienia typu
\(\displaystyle{ \begin{cases}x=\rho\sin{t}\\y=\rho\cos{t}\end{cases}}\)
Wówczas rozważając granice
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)}\)
możemy zapisać naszą granicą
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=\lim_{\rho\to 0} f(\rho)}\) oraz \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\)

Zapomniałem o tym całkiem! Dzięki

dla tego 1 przykładu robie tak
\(\displaystyle{ \lim_{p \to0 } \frac{p\sin t +p\cos t}{ (p\sin t)^{2}+ (p\cos t)^{2} } = \frac{p(\sin t+\cos t)}{ p^{2} \sin t^{2}+ p^{2} \cos t^{2} } = \frac{(\sin t + \cos t)}{p( \sin t^{2}+ \cos t^{2} ) }= \frac{(\sin t + \cos t)}{p} }\)


i co teraz? co na tej podstawie moge stwierdzic?

-- 5 cze 2011, o 20:57 --

up