Matematyka.pl

Środkowe trójkąta prostokątnego poprowadzone z wierzchołków kątów ostrych mają dlugość 5 i \(\displaystyle{ \sqrt{40}}\).

a) Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na nim.
b) Oblicz dlugość środkowej trójkąta poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego.

plis. Pomórzcie. Błagam

[Zlodiej] - Edytowany w ramach wprowadzania estetyki postów

Oznaczenia:

A, B, C - wierzchołki trójkąta
a=AB, b=BC, c=AC
d - środkowa poprowadzona z wierzchołka A (d=5)
e - środkowa poprowadzona z wierzchołka C (\(\displaystyle{ e=\sqrt{40}}\))
f - środkowa poprowadzona z wierzchołka B (długość nieznana)
r - promień okręgu wpisanego
R - promień okręgu opisanego

Korzystamy z tw. Pitagorasa:

\(\displaystyle{ (\frac{a}{2})^2 + b^2 = d^2\\a^2 + (\frac{b}{2})^2 = e^2}\)

Czyli

\(\displaystyle{ \frac{a^2}{4} + b^2 = 25\\a^2 + \frac{b^2}{4} = 40}\)

Rozwiązujemy układ i otrzymujemy: a=6, b=4.

Dalej z tw. Pitagorasa mamy: \(\displaystyle{ c=2\sqrt{13}}\)

Dalej korzystamy ze wzoru na R w trójkącie prostokątnym, czyli: \(\displaystyle{ R=\frac{c}{2}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ R=\sqrt{13}}\)

Mamy też:

\(\displaystyle{ r=\frac{a+b-c}{2}}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ r=5-\sqrt{13}}\)

Już możemy obliczyć stosunek \(\displaystyle{ \frac{r}{R}}\).

Jeśli chodzi o f, to trzeba zauważyć, że:

\(\displaystyle{ f^2 = (\frac{b}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2}\)

Stąd mamy: \(\displaystyle{ f=\sqrt{13}}\)


[Zlodiej] - Edytowany w ramach wprowadzania estetyki postów