Matematyka.pl

majac relacje \(\displaystyle{ m \le n}\) w zbiorze \(\displaystyle{ S = (0,1,2,3)}\) nalezy sprawdzic czy relacja jest antysymetryczna.

nie rozumiem dlaczego jest antysymetryczna (a taka odpowiedz jest w ksiazce) skoro z definicji mamy: \(\displaystyle{ x \le y}\) i \(\displaystyle{ y \le x}\) co implikuje \(\displaystyle{ x = y}\) i skoro np 0 jest mniejsze lub rowne 1 to nie na odwrot co nie implikuje, ze 0 jest rowne 1...

pewnie moje rozumowanie jest bledne, wiec takim razie jak nalezy to poprawnie rozumiec?

coldrain pisze:majac relacje \(\displaystyle{ m \le n}\) w zbiorze \(\displaystyle{ S = (0,1,2,3)}\) nalezy sprawdzic czy relacja jest antysymetryczna.

Dla ścisłości: \(\displaystyle{ S=\{0,1,2,3\}}\).

coldrain pisze:nie rozumiem dlaczego jest antysymetryczna (a taka odpowiedz jest w ksiazce) skoro z definicji mamy: \(\displaystyle{ x \le y}\) i \(\displaystyle{ y \le x}\) co implikuje \(\displaystyle{ x = y}\) i skoro np 0 jest mniejsze lub rowne 1 to nie na odwrot co nie implikuje, ze 0 jest rowne 1...

pewnie moje rozumowanie jest bledne, wiec takim razie jak nalezy to poprawnie rozumiec?

Jest błędne. Może łatwiej będzie, gdy warunek \(\displaystyle{ x\le y\land y\le x \Rightarrow x=y}\) przekształcisz równoważnie do postaci \(\displaystyle{ x\neq y \Rightarrow x<y \lor y<x}\).

JK

czyli dla jednej pary 0 i 1 warunek \(\displaystyle{ x < y}\) zachodzi z czego wynika ze \(\displaystyle{ x \neq y}\)
mozna zalozyc ze gdy x nie jest rowne y to relacja jest asymetryczna?
rozumiem ze aby sprawdzic asymetrycznosc relacji moge korzystac albo z pierwszego warunku albo z drugiego?

coldrain pisze:czyli dla jednej pary 0 i 1 warunek \(\displaystyle{ x < y}\) zachodzi z czego wynika ze \(\displaystyle{ x \neq y}\)
mozna zalozyc ze gdy x nie jest rowne y to relacja jest asymetryczna?
rozumiem ze aby sprawdzic asymetrycznosc relacji moge korzystac albo z pierwszego warunku albo z drugiego?

Nie, widzę, że masz problem z poprawną interpretacją zapisów formalnych.
Oba warunki, które podałem są (jak napisałem) równoważne, zatem każdy z nich jest dobry do sprawdzania asymetrii relacji. Pamiętaj jednak, że wspomniane warunki w pełnym brzmieniu zaczynają się od kwantyfikatora "dla każdych \(\displaystyle{ x,y}\)"

A jeśli chodzi o Twoje zadanie, to jego treść sugeruje sprawdzenie bezpośrednie (skorzystanie z tego, że nierówność na liczbach naturalnych jest asymetryczna byłoby "za proste"). Sprawdzenie bezpośrednie, zgodnie z drugim warunkiem, polega na tym, że bierzesz wszystkie możliwe pary różnych liczb ze zbioru \(\displaystyle{ S}\) i sprawdzasz za każdym razem, że jedna z nich jest większa od drugiej.

JK

a jak sprawa bedzie wygladala w relacji max{m,n} = 3 na takim samym zbiorze S?
Do relacji beda nalezaly np pary (1,3), (2,3) itd i dla kazdych z nich bedzie zachodzic warunek \(\displaystyle{ x < y \vee y < x \Rightarrow x \neq y}\)

w odpowiedzi jest natomiast podane, ze relacja jest symetryczna (co jest oczywiste)

coldrain pisze:a jak sprawa bedzie wygladala w relacji max{m,n} = 3 na takim samym zbiorze S?
Do relacji beda nalezaly np pary (1,3), (2,3) itd i dla kazdych z nich bedzie zachodzic warunek \(\displaystyle{ x < y \vee y < x \Rightarrow x \neq y}\)

No i co z tego?

JK

Nie rozumiem dlaczego ta relacja nie jest antysymetryczna skoro spelnia warunek.

coldrain pisze:Nie rozumiem dlaczego ta relacja nie jest antysymetryczna skoro spelnia warunek.

Jaki warunek?
Przeczytaj dokładnie, jak wygląda warunek antysymetrii (zwróć uwagę na zwrot implikacji, jaki jest kwantyfikator itd.) i spróbuj jeszcze raz mnie przekonać, że ten warunek jest spełniony.

JK