mamy taką całkę:
\(\displaystyle{ \int \limits_{1}^{+ \infty} \frac {dx}{x \sqrt{x^{2} - 1}}}\)
wiem, że oblicza się ją przez podstawienie \(\displaystyle{ \frac{1}{x} = t}\)
chciałbym, żeby mi ktoś to formalnie rozpisał (czyli rozwiązał), co się dzieje z punktami osobliwymi całki wyjściowej jak i tymi, które się pojawią (być może) po podstawieniu w nowej całce ze zmienionymi granicami całkowania.
całka niewłaściwa - osobliwości
-
pepis
- Użytkownik
- Posty: 230
- Rejestracja: 13 gru 2007, o 16:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 53 razy
całka niewłaściwa - osobliwości
\(\displaystyle{ \int \limits_{1}^{+ \infty} \frac {dx}{x \sqrt{x^{2} - 1}} \\
t= \frac{1}{x} \Rightarrow x= \frac{1}{t} \Rightarrow dx= \frac{-1}{t^{2}}dt \\
\int_{1}^{0} \frac {\frac{-1}{t^{2}}dt}{\frac{1}{t} \sqrt{(\frac{1}{t})^{2} - 1}}=\int_{0}^{1} \frac {dt}{t \sqrt{\frac{1-t^{2}}{t^{2}}}}=\int_{0}^{1} \frac {dt}{\sqrt{1-t^{2}}}= \lim_{ A\to 1} \int_{0}^{A} \frac {dt}{\sqrt{1-t^{2}}}=\\=\lim_{ A\to 1}(arcsinA-arcsin0)= \frac{\pi}{2}}\)
t= \frac{1}{x} \Rightarrow x= \frac{1}{t} \Rightarrow dx= \frac{-1}{t^{2}}dt \\
\int_{1}^{0} \frac {\frac{-1}{t^{2}}dt}{\frac{1}{t} \sqrt{(\frac{1}{t})^{2} - 1}}=\int_{0}^{1} \frac {dt}{t \sqrt{\frac{1-t^{2}}{t^{2}}}}=\int_{0}^{1} \frac {dt}{\sqrt{1-t^{2}}}= \lim_{ A\to 1} \int_{0}^{A} \frac {dt}{\sqrt{1-t^{2}}}=\\=\lim_{ A\to 1}(arcsinA-arcsin0)= \frac{\pi}{2}}\)
-
meninio
- Użytkownik
- Posty: 1873
- Rejestracja: 3 maja 2008, o 11:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jastrzębie Zdrój
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 467 razy
całka niewłaściwa - osobliwości
\(\displaystyle{ \int \limits_{1}^{+ \infty} \frac {dx}{x \sqrt{x^{2} - 1}} = \lim_{ A \to +\infty} \int \limits_{1+\frac{1}{A}}^{A} \frac{ \mbox{d}x }{x\sqrt{x^2-1}}}\)