Matematyka.pl

Udowodnij, ze skończony monoid (zbiór z działeniem łącznym, posiadającym element neutralny),
w którym zachodzi jedno z praw skracania jest grupą. Wskazówka: rozważ ciągi typu
a; aa; aaa; aaaa; : : :.

Wiem ze ktos podal juz rozwiazanie dla elementow conajwyzej 2 rzedu, ale tutaj to chyba nie zadziala.
Prosilbym o konkretne rozwiazanie.

Interesuje nas istnienie elementu odwrotnego do dowolnie ustalonego elementu \(\displaystyle{ a}\) naszego monoidu.

Rozpatrujemy ciąg \(\displaystyle{ x_{n} = a^{n}.}\) Ponieważ nasz monoid jest skończony, to w nieskończonym ciągu \(\displaystyle{ \{x_{n}\}}\) o wyrazach z tego monoidu znajdziemy dwa wyrazy równe o różnych indeksach. Czyli dla pewnych \(\displaystyle{ k\neq l}\) mamy \(\displaystyle{ a^{l} = a^{k}.}\) Niech np \(\displaystyle{ k< l,}\) wtedy z prawa skracania \(\displaystyle{ a^{l-k} = 1}\) oraz \(\displaystyle{ l-k \ge 1}\) czyli \(\displaystyle{ a^{l-k-1}}\) jest poprawnie określonym elementem odwrotnym do \(\displaystyle{ a.}\)