Ekstrema funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Zepp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 16 lis 2005, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy

Ekstrema funkcji

Post autor: Zepp » 20 sty 2006, o 11:58

Mam do wyznaczenia ekstrema funkcji:

a)\(\displaystyle{ w=u^{3}-6u^{2}+9u-2}\)
b)\(\displaystyle{ y=x^{2}e^{-x^{2}}}\)

Kto pomoże?

Fibik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 948
Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 74 razy

Ekstrema funkcji

Post autor: Fibik » 20 sty 2006, o 14:45

a) \(\displaystyle{ w^' = 3u^2-12u+9}\)
w' = 0 -> \(\displaystyle{ u^2-4u+3 = (u-2)^2 - 1 = 0\ to\ u-2 = ^+_-1}\)
czyli: u = 2 + 1 = 3 lub u = 2 - 1 = 1

w'' = 6u-12
w''(3) = 18-12 = 6 > 0 -> minimum lokalne równe: w(3) = 27-54+27-2 = -2
w''(1) = 6-12 = -6 maksimum: w(1) = 1-6+9-2 = 2

b)
\(\displaystyle{ y^' = 2xe^{-x^2}+x^2(-2xe^{-x^2}) = 2x(1 - x^2)e^{-x^2}}\)
y' = 0 -> x = 0 lub x = 1 lub x = -1

y(x=0) = 0 i y(x 0) > 0 zatem: dla x = 0 jest minimum oraz dla x = -1 i x = 1 jest maksimum
(funkcja jest ciągła, a wtedy dwa minima/maksima nie mogą sąsiadować):
\(\displaystyle{ y_{max} = \frac{1}{e}}\)
Ostatnio zmieniony 22 sty 2006, o 21:29 przez Fibik, łącznie zmieniany 1 raz.

Zepp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 16 lis 2005, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy

Ekstrema funkcji

Post autor: Zepp » 21 sty 2006, o 13:44

Kurcze, nie za bardzo to kumam, :( mógłbys mi to bardziej wyjasnic, tak krok po kroku?

BTW w przykaldzie a) zamiast 'x' powinno byc 'u' :wink:

Fibik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 948
Rejestracja: 27 wrz 2005, o 22:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 74 razy

Ekstrema funkcji

Post autor: Fibik » 22 sty 2006, o 22:10

1. Liczysz pochodną
2. Przyrównujesz pochodną do zera i rozwiązujesz równanie: f'(x) = 0, otrzymujesz wartości x, dla których f może mieć ekstrema.
3. Liczysz drugą pochodną i sprawdzasz jej znak dla wartości x, obliczonych w 2.:
f'' > 0 -> jest minimum, f'' maksimum, f'' = 0 - nie rozstrzyga... i wtedy:
liczysz kolejne pochodne: \(\displaystyle{ f^k}\), aż do pierwszej różnej od zera (w rozpatrywanym punkcie),
wtedy: k - parzyste jest ekstremum, k - nieparzyste - brak.
przykład:
\(\displaystyle{ y = x^3}\),
\(\displaystyle{ y' = 3x^2}\)
\(\displaystyle{ 3x^2 = 0\ \to\ x = 0}\)
y'' = 6x, y''(x=0) = 0 -> liczymy trzecią pochodną:
y''' = 6 0 i k = 3 - nieparzyste -> brak ekstremum.


Niekiedy wszystkie pochodne się zerują w danym punkcie, i nic to nie daje...
ale jest przecież definicja ekstremum a ona zawsze rozstrzyga...
przykład:
\(\displaystyle{ \Large f(x) = e^{-\frac{1}{x^2}}}\)
pochodna dowolnie wysokiego rzędu jest równa zeru!

Zepp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 16 lis 2005, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy

Ekstrema funkcji

Post autor: Zepp » 23 sty 2006, o 18:15

Wielkie Dzieki za pomoc

ODPOWIEDZ