Matematyka.pl

Wyznaczyc potencjal V i natezenie pola elektrostatycznego E wytwarzanego przez chmure ladunku rozmieszczonego rownomiernie ze stala gestoscia objetosciowa p wewnatrz kuli o promieniu R. Narysowac odpowiednie wykresy. Obliczyc rowniez energie pola elektrycznego W wywtworzona przez ten ladunek.

Rozwiazac z prawa Gaussa. Problem w tym, ze nie wiem jak sie rozwiazuje calki po drodze zamknietej (bo jeszcze tego nie mielismy) i kompletnie nie wiem o jakie wykresy chodzi.

Pozdrawiam i czekam na odp

Witam

Zacznijmy może od natężenie pola elektrycznego.
pierwszym krokiem jest policzenie natężenia pola dla r<R. jako powierzchnie Gaussa przyjmijmy kulę o promieniu mniejszym niż R takie oznaczenie wynika z symetrii rozkładu ładunku.
z prawa Gaussa

\(\displaystyle{ \oint EdS=\frac{Q}{\varepsilon}\\E4\pi r^2=\frac{\rho \frac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon}\\E=\frac{\rho}{3\varepsilon}r}\)

następnie dla r>R powierzchnia jest również kulą oraz również z takie samego powodu jak poprzednio

\(\displaystyle{ \oint EdS=\frac{Q}{\varepsilon}\\E4\pi r^2=\frac{\rho \frac{4}{3}\pi R^3}{\varepsilon}=E=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon }\cdot \frac{1}{r^2}}\)

wykres tego jest bardzo łatwo narysować dla r<R masz funkcję liniową a dla większego od R masz odwróconą parabole.

Teraz związek między potencjałem a natężeniem pola określa zależność
\(\displaystyle{ E=-gradV}\) teraz jak przejść z natężenia do potencjału?

zauważ że natężenie masz określone we współrzędnych biegunowych. A teraz jeszcze lepsza wiadomość natężenie pola zależy tylko od jednej współrzędnej - promienia. Więc chcąc policzyć natężenie musimy tylko policzyć całkę z natężenie pola op r czyli
\(\displaystyle{ V=\int Edr}\)
mam nadzieje że z tymi całkami sobie poradzisz
aha taka uwaga na koniec jeżeli policzymy tę całkę w granicach to dostaniemy napięcie między dwoma punktami.

Przydatne