Matematyka.pl

Witam mam kilka zadan z którymi nie mogę sobie poradzić:

1)Jaką prędkość początkową należy nadać ciału, by zsuwało się ono po gładkiej równi w czasie 1s na drodze 4m, jeśli kąt nachylenia równi wynosi 30 stopni?

2)Na równi stała skrzynia o masie 20kg, którą pchnięto wzdłuż równi w dół, nadając jej prędkość początkową 5 m/s. Skrzynia zatrzymała się po przebyciu drogi 10m. Kąt nachylenia równi wynosi 30 stopni. Oblicz wartość siły tarcia.

Czekam na wasze wskazówki....

2)
\(\displaystyle{ s=\frac{v^2}{2a}\Rightarrow a=\frac{v^2}{2s}\\mg(\sin\alpha-\cos\alpha\mu)=ma}\)
Obliczam siłę wypadkową, jako różnicę siły zsuwającej i siły tarcia. Sinusa i cosinusa znasz, oblicz a i przekształć żebyś otrzymał wzór na \(\displaystyle{ \mu}\)

A mugłbyś podać mi jak rozwiązać to zadanie opierając sie na zasadach dynamiki?

proszę bardzo, przy okazji tamten sposób był zły, z energii

Zadanie 1.)

Na ciało działa siła ciężkości, więc rozkładamy ją na dwie składowe, jedna powoduje zsuwanie się ciała i jest równa \(\displaystyle{ F=m \cdot g \cdot sin \alpha}\) , druga siła dociska ciało do podłoża, ale ponieważ w zadaniu nie uwzględniamy tarcia, to nie bierzemy jej pod uwagę.
Obliczamy teraz przyspieszenie ciała:

\(\displaystyle{ a= \frac{F}{m} = \frac{m \cdot g \cdot sin \alpha}{m} = \frac{1}{2} \cdot g=5 \frac{m}{s^2}}\)

Przekształcając wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym liczymy prędkość początkową ciała.

\(\displaystyle{ S=V_0 \cdot t+ \frac{a \cdot t^2}{2}}\)

\(\displaystyle{ V_0 \cdot t=S- \frac{a \cdot t^2}{2}}\)

\(\displaystyle{ V_0= \frac{S}{t} - \frac{a \cdot t}{2}}\)

Podstawiamy teraz dane do tego wzoru i mamy:

\(\displaystyle{ V_0=4 \frac{m}{s} -2,5 \frac{m}{s} =1,5 \frac{m}{s}}\)-- 10 mar 2009, o 14:26 --Zadanie 2.)

Ciało posiada prędkość początkową \(\displaystyle{ V_0}\) oraz (ujemne) przyspieszenie.

Siła ciężkości rozkłada się podobnie, jak w zadaniu pierwszym na siłę działającą wzdłuż powierzchni równi \(\displaystyle{ F=m \cdot g \cdot sin \alpha}\) oraz prostopadłą do powierzchni równi, która jest przyczyną powstania sił tarcia \(\displaystyle{ T}\).

Dodajesz działające na ciało siły:

\(\displaystyle{ T-m \cdot a-F=0}\)

\(\displaystyle{ T=F+m \cdot a}\)

Teraz musimy obliczyć przyspieszenie klocka, korzystamy ze wzoru na drogę odpowiednio go przekształcając:

\(\displaystyle{ S=V_0 \cdot t+ \frac{a \cdot t^2}{2}}\)

Z definicji przyspieszenia mamy:

\(\displaystyle{ a= \frac{\Delta V}{\Delta t}}\)

Ponieważ ciało zatrzymało się, a czas mierzyliśmy od konkretnego momentu, to:

\(\displaystyle{ \begin{cases} V_k=0 \\ t_0=0 \end{cases}}\)

więc wzór na przyspieszenie przyjmuje postać:

\(\displaystyle{ a= \frac{V_0}{t}}\)

Po przekształceniu otrzymujemy zależność:

\(\displaystyle{ t= \frac{V_0}{a}}\)

Co wstawiamy do wzoru na drogę:

\(\displaystyle{ S=V_0 \cdot \frac{V_0}{a} - \frac{a \cdot \frac{V^{2}_{0}}{a^2} }{2}}\)

Po uproszczeniu otrzymujemy:

\(\displaystyle{ S= \frac{V^{2}_{0}}{2 \cdot a}}\)

Przekształcając mamy gotowy wzór na przyspieszenie klocka:

\(\displaystyle{ a= \frac{V^{2}_{0}}{2 \cdot S}}\)

Po podstawieniu danych obliczamy przyspieszenie, które wynosi:

\(\displaystyle{ -2,5 \frac{m}{s^2}}\)

Tutaj słowo komentarza. Przyspieszenie jest ujemne, ponieważ spotykamy się z hamowaniem klocka. We wzorze na drogę właśnie dlatego musieliśmy wstawić znak minus. Przyspieszenie jest wielkością wektorową, a my liczyliśmy na skalarach. Dla wektorów musielibyśmy zapisać:

\(\displaystyle{ \vec{a} = \frac{V_k-V_0}{t} = \frac{\vec{V}}{t}}\)

Prędkość w tym wypadku wychodzi ujemna, gdyż \(\displaystyle{ V_k<V_0}\), co daje również ujemne przyspieszenie. Dla potrzeb zadania myślę, że obliczenia na skalarach powinny wystarczyć w zupełności.

Podstawiając dane pod wzór na tarcie:

\(\displaystyle{ T=m \cdot g \cdot sin \alpha +m \cdot a}\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ T=20kg \cdot 5 \frac{m}{s^2} +20kg \cdot (-2,5) \frac{m}{s^2} =100N-50N=50N}\)