Matematyka.pl

Mam do policzenia następujące granice funkcji :

1) \(\displaystyle{ \lim_{x\to1} \frac{\sqrt{3+x}-2}{x-1}}\)

2) \(\displaystyle{ \lim_{x\to2} \frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}}\)

W obydwu przykladach, korzystając z reguly de l'Hospitala wyszlo mi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) . Czy to dobry wynik?
Mam także do obliczenia następujące przyklady, jednak nie wiem jak się do nich zabrac, jakieś wskazówki?

3) \(\displaystyle{ \lim_{x\to0^+} (2-cosx)^\frac{1}{x}}\)
4) \(\displaystyle{ \lim_{x\to0^+} (1+sinx)^\frac{1}{x}}\)

Po co sobie komplikowac zycie delopitalem w dwoch pierwszych? Wystarczy wzor skroconego mnozenia
1.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 1} \frac{ \sqrt{3+x}-2}{x-1}=
\lim_{x\to 1} \frac{ \frac{3+x-4}{\sqrt{3+x}+2}}{x-1}=
\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{(\sqrt{3+x}+2)(x-1)}=
\lim_{x\to 1} \frac{1}{\sqrt{3+x}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}}\)

2. Analogicznie jak wyzej.

A nie wiem, jakoś metoda delopitala wydaje mi się przyjaźniejsza chcialem się po prostu dowiedziec czy wynik dobry.
A przyklady 3 i 4? Nie wiem zupelnie co z nimi zrobic, help !

Delopital, to taka maszynka, przy ktorej sie wiele nie mysli wogole nad przykladem Wiekszosc przykladow sie da nia zrobic, choc nie zawsze powinna byc dozwolona (wedlug mnie - wlasne doswiadczenia).

3.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to0^+} (2-cosx)^ \frac{1}{x} =
\lim_{x \to0^+} e^{\frac{\ln (2-\cos x)}{x}}
e^{ \lim_{x \to0^+} \frac{\ln (2-\cos x)}{x} }= (\circ)\\
\lim_{x \to0^+} \frac{\ln (2-\cos x)}{x}=\left[\frac{0}{0}\right]=H=
\lim_{x \to0^+} \frac{\sin x}{2-\cos x}=\left[\frac{0}{1}\right]=0\\
(\circ)=e^{0}=1}\)

4. Analogicznie.

BTW. Warto tez uwazac, bo ta metoda nie jest zawsze dozwolona (patrz wlasnosci logarytmu).

Pozdrawiam.

Hmm, czy móglbys prosze wytlumaczyc mi tą metodę albo/i pokazac jakąś inną latwiejszą (jeżeli taka istnieje)? Bo nie do konca rozumiem, humanista ze mnie w koncu

To poprostu trik polegajacy na uzyciu wlasciwosci logarytmow, a konkretnie tej:
\(\displaystyle{ a^{\log_{a}b}=b,\;\;\;b>0\\}\)

Nie podawalem innej metody, gdyz mowiles, ze lubisz delopitala
No ale prosze bardzo (korzystanie z definicji liczby e):
3.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to0^+} (2-cosx)^ \frac{1}{x} =
\lim_{x \to0^+} (1+1-cosx)^ \frac{1}{x} =
\lim_{x \to0^+} (1+2\sin^2\frac{x}{2})^ \frac{1}{x} =
\lim_{x \to0^+} \left[\left(1+2\sin^2\frac{x}{2}\right)^ \frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}}\right]^{\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x}} =
\lim_{x \to0^+} \left[\left(1+2\sin^2\frac{x}{2}\right)^ \frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}}\right]^{\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x}} =
\lim_{x \to0^+} \left[\left(1+2\sin^2\frac{x}{2}\right)^ \frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}}\right]^{\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\sin \frac{x}{2}} =
e^0=1}\)

4. Podobnie

Pozdrawiam.