Proszę o wskazówki jak zrobić te zadania:
1) Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) dla których jeden z pierwiastków równania \(\displaystyle{ 4x^2-15x+4a=0}\) jest kwadratem drugiego.
2) Dla jakiej wartości parametru m odwrotność sumy kwadratów pierwiastków równania \(\displaystyle{ x^2-mx+2m-5=0}\) jest największa
3) Wyznacz wszystkie wartości całkowite \(\displaystyle{ a}\) dla których równanie \(\displaystyle{ x^2+ax+a=0}\) ma pierwiastek całkowity.
4) Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) pierwiastki równania \(\displaystyle{ 5x^2-5(m-1)x+6m=0}\) są odpowiednio sinusem i cosinusem tego samego kąta ostrego?
Równania kwadratowe z parametrem.
-
Młody fryta
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 14 wrz 2004, o 17:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Pomógł: 1 raz
Równania kwadratowe z parametrem.
Na razie tylko 1 i 2. W obu przypadkach skorzystaj ze wzorów Viete'a.
1) Podstaw \(\displaystyle{ x_1 = (x_2)^2}\) do obu wzorów Viete'a. Ze wzoru na sumę wylicz \(\displaystyle{ x_2}\), podstaw do wzoru na iloczyn pierwiastków.
2) Ze wzorów Viete'a znajdź wzór na sumę kwadratów pierwiastków. Jest to:
\(\displaystyle{ (x_1)^2 + (x_2)^2 = \frac{b^2-2ac}{a^2}}\)
Stąd masz wzór na odwrotność tej sumy. Podstaw odpowiednio \(\displaystyle{ a, b, c}\). Otrzymasz funkcję \(\displaystyle{ f(m)}\). Znajdź jej ekstrema.
1) Podstaw \(\displaystyle{ x_1 = (x_2)^2}\) do obu wzorów Viete'a. Ze wzoru na sumę wylicz \(\displaystyle{ x_2}\), podstaw do wzoru na iloczyn pierwiastków.
2) Ze wzorów Viete'a znajdź wzór na sumę kwadratów pierwiastków. Jest to:
\(\displaystyle{ (x_1)^2 + (x_2)^2 = \frac{b^2-2ac}{a^2}}\)
Stąd masz wzór na odwrotność tej sumy. Podstaw odpowiednio \(\displaystyle{ a, b, c}\). Otrzymasz funkcję \(\displaystyle{ f(m)}\). Znajdź jej ekstrema.
-
basia
- Użytkownik
- Posty: 123
- Rejestracja: 16 lip 2004, o 14:14
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Oświęcim
- Podziękował: 2 razy
Równania kwadratowe z parametrem.
A jak zrobić tego typu ale np. dla jakich wartości m równania mają wspólny pierwiastek albo jeden jest dwukrotnością drugiego?
-
Skrzypu
- Użytkownik
- Posty: 1000
- Rejestracja: 18 maja 2004, o 22:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 18 razy
Równania kwadratowe z parametrem.
zad 3
Równanie ma mieć jeden pierwiastek, więc \(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ a^2-4a=0\\
a(a-4)=0\\
a=0 \vee a=4}\)
zad 4
Skoro pierwiastki równania są sinusem i cosinusem tego samego kąta zachodzi równanie: \(\displaystyle{ \sin^2 x+\cos^2 x=1}\), czyli \(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2=1}\)
\(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2=1\\
x_1^2+x_2^2= \left( x_1+x_2 \right) ^2-2x_1 \cdot x_2\\
\left( x_1+x_2 \right) ^2-2x_1 \cdot x_2=1}\)
ze wzorów Viete'a
\(\displaystyle{ \left( - \frac{b}{a} \right)^2-2 \frac{c}{a}=1 \\
\left[ \frac{5(m-1)}{5} \right]^2-2 \cdot \frac{6m}{5}=1 \\
(m-1)^2- \frac{12}{5}m=1 \\
m^2-2m+1- \frac{12m}{5}=1 \\
m^2- \frac{22}{5}m=0 \\
m=0 \vee m= \frac{22}{5}}\)
Równanie ma mieć jeden pierwiastek, więc \(\displaystyle{ \Delta=0}\)
\(\displaystyle{ a^2-4a=0\\
a(a-4)=0\\
a=0 \vee a=4}\)
zad 4
Skoro pierwiastki równania są sinusem i cosinusem tego samego kąta zachodzi równanie: \(\displaystyle{ \sin^2 x+\cos^2 x=1}\), czyli \(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2=1}\)
\(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2=1\\
x_1^2+x_2^2= \left( x_1+x_2 \right) ^2-2x_1 \cdot x_2\\
\left( x_1+x_2 \right) ^2-2x_1 \cdot x_2=1}\)
ze wzorów Viete'a
\(\displaystyle{ \left( - \frac{b}{a} \right)^2-2 \frac{c}{a}=1 \\
\left[ \frac{5(m-1)}{5} \right]^2-2 \cdot \frac{6m}{5}=1 \\
(m-1)^2- \frac{12}{5}m=1 \\
m^2-2m+1- \frac{12m}{5}=1 \\
m^2- \frac{22}{5}m=0 \\
m=0 \vee m= \frac{22}{5}}\)
-
wlodzimierz
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 21 mar 2008, o 18:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 1 raz
Równania kwadratowe z parametrem.
chodzi mi o zadanie 4 z funkcjami tryg.
wiem, że to stare zadanie, ale ja przygotowując się do matury przypadkiem na nie trafiłem. Czy nie trzeba tu ponad to, co napisał kolega zapewnić, żeby w ogóle były pierwiastki i żeby były na dodatek dodatnie? Problem w tym, że jak tak zrobiłem to wyszedł zbiór pusty, a pewnie nie powinien... Pozdrawiam:)
wiem, że to stare zadanie, ale ja przygotowując się do matury przypadkiem na nie trafiłem. Czy nie trzeba tu ponad to, co napisał kolega zapewnić, żeby w ogóle były pierwiastki i żeby były na dodatek dodatnie? Problem w tym, że jak tak zrobiłem to wyszedł zbiór pusty, a pewnie nie powinien... Pozdrawiam:)