Matematyka.pl

Wykaż, że jeżeli m jest liczbą całkowitą nieparzystą, to liczba \(\displaystyle{ m^{4}-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 16}\)

\(\displaystyle{ m=16k+l}\), gdzie \(\displaystyle{ l\in \{\pm 1, 3, 5, 7\}}\).

Mamy więc

\(\displaystyle{ m^2\equiv 1{\pmod {16}}\vee m^2\equiv 9{\pmod {16}}}\), więc

\(\displaystyle{ m^4\equiv 1{\pmod {16}}}\) (gdyż \(\displaystyle{ 81\equiv 1\pmod {16}}\)), więc rzeczywiście \(\displaystyle{ 16|m^4-1}\), Q. E. D.


Alternatywny dowód:

\(\displaystyle{ m^4-1=(m-1)(m+1)(m^2+1)}\).

Skoro \(\displaystyle{ m=2k+1}\), to obie z liczb \(\displaystyle{ (m-1)}\) i \(\displaystyle{ (m+1)}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\), co więcej, jedna z nich jest podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\). Mamy więc \(\displaystyle{ 8|(m-1)(m+1)}\).

Wystarczy pokazać \(\displaystyle{ 2|m^2+1}\).

\(\displaystyle{ m^2+1 = (2k+1)^2+1 = 4k^2+4k+2=2(2k^2+2k+1)}\), więc rzeczywiście \(\displaystyle{ 2|m^2+1}\), czyli reasumując \(\displaystyle{ 16|m^4-1}\), c. k. d.


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

No i można jeszcze na chama podnieść 2k+1 do czwartej

Intuicyjnie rozłóżmy m^4 - 1.
Mamy: m^4 - 1 = (m-1)(m+1)(m^2+1).
Zauważmy, że jeśli m jest liczną nieparzystą to każdy z czynników powyżej jest liczbą parzystą. To oznacza, że wyrażenie jest podzielne przez 2*2*2 = 8.
Zauważmy też, że liczby (m-1) i (m+1) to dwie kolejne liczby parzyste , zatem jedna z nich jest podzielna przez cztery.
Więc nasze wyrażenie m^4 - 1 jest ostatecznie podzielne przez 4*2*2 = 16.

Teraz możemy narysować kwadracik, który kończy dowód, ewentualnie możemy machnąć CND.

Pozdrawiam