Matematyka.pl

2.Wykaż, ze jeśli \(\displaystyle{ b,c \in \mathbb R_{+}}\) i \(\displaystyle{ \log _{2}b + \log _{2}c +1 = \log _{2}\left( b^{2} + c^{2} \right)}\), to \(\displaystyle{ b=c}\)

Z góry dziękuje za każdą wskazówke

no to mamy:
\(\displaystyle{ \log _2b+\log _2c+\log _22=\log _2\left(b^2+c^2\right)}\)
\(\displaystyle{ \log _22bc=\log _2\left(b^2+c^2\right)}\)
\(\displaystyle{ 2bc=b^2+c^2}\)
\(\displaystyle{ b^2-2bc+c^2=0}\)
\(\displaystyle{ \left(b-c\right)^2=0}\)
\(\displaystyle{ b=c}\) cbdu

czy mogą dzielić tak sobie przez "\(\displaystyle{ \log_{2}}\)" ??

To nie jest dzielenie.

logarytm jest różnowartościowy, więc \(\displaystyle{ log(x)=log(y) \Leftrightarrow x=y}\).

Wcale nie trzeba korzystać z tej różnowartościowości, jeśli nie miałeś jeszcze funkcji.

\(\displaystyle{ \log _22bc=\log _2\left(b^2+c^2\right)}\)
\(\displaystyle{ \log _22bc-\log _2\left(b^2+c^2\right)=0}\)
\(\displaystyle{ \log _2 \frac{2bc}{\left(b^2+c^2\right)}=0}\)
Logarytm z danej liczby x jest równy 0 tylko wtedy gdy x = 1 (bo \(\displaystyle{ x^{0}=1}\)), więc:
\(\displaystyle{ \frac{2bc}{\left(b^2+c^2\right)} = 1}\)
\(\displaystyle{ 2bc=b^2+c^2}\)
Dalej tak jak wyżej.

Pozdrawiam.