Matematyka.pl

Po rozwinięciu powierzchni bocznej walca otrzymano prostokąt, ktorego jeden z bokow jest dwa razy dłuższy od drugiego i ktorego przekątna ma dlugośc p. Oblicz pole powierzchni calkowitej tego walca.

Oznaczmy wymiary prostokąta przez a i b=2a. Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ p^2=a^2+b^2}\)
\(\displaystyle{ p^2=a^2+(2a)^2}\)
\(\displaystyle{ p^2=5a^2}\)
\(\displaystyle{ p=a \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{p}{ \sqrt{5} }}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{p \sqrt{5} }{5}}\)
czyli prostokąt ma wymiary:\(\displaystyle{ a=\frac{p \sqrt{5} }{5}}\) i \(\displaystyle{ b=\frac{2p \sqrt{5} }{5}}\). Pole powierzchni bocznej to \(\displaystyle{ P_{pb}=ab}\). Do pola całkowitego potrzeba jeszcze pól dwóch kół (podstawy walca), szukamy zatem promienia podstawy walca. Mamy dwa warianty:
a) przyjmujemy, że dolny bok prostokąta to a, jak zwiniesz w rulon ten prostokąt to bok a będzie okręgiem o obwodzie równym długości boku a:
\(\displaystyle{ 2\pi r= a}\), wyliczamy r no i potem pole koła \(\displaystyle{ P=\pi r^2}\)
b) przyjmujemy, że dolny bok prostokąta to b:
\(\displaystyle{ 2\pi r= b}\), wyliczamy r i do pola koła

Pamiętaj, że w powierzchni całkowitej pomnóż pole jednej podstawy razy dwa

ma wyjsc P= p2(4pi +1) podzielić przez 10pi
przepraszam za zapis, ale wkurza mnie ten Latex

Pole powierzchni bocznej walca:
\(\displaystyle{ P_{pb}=ab}\)
\(\displaystyle{ P_{pb}=\frac{p \sqrt{5} }{5} \cdot \frac{2p \sqrt{5} }{5}}\)
\(\displaystyle{ P_{pb}= \frac{10p^2}{25}= \frac{2p^2}{5}}\)

Pole podstawy walca (koła):
a) przyjmujemy, że obwodem podstawy walca jest długość krótszego boku prostokąta czyli \(\displaystyle{ a}\):
liczymy promień podstawy walca
\(\displaystyle{ 2\pi r=\frac{p \sqrt{5} }{5}}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{p \sqrt{5} }{10 \pi}}\)
zatem pole podstawy
\(\displaystyle{ P_p=\pi r^2}\)
\(\displaystyle{ P_p=\pi (\frac{p \sqrt{5} }{10 \pi})^2}\)
\(\displaystyle{ P_p= \frac{p^2}{20 \pi}}\)

b) przyjmujemy, że obwodem podstawy walca jest długość dłuższego boku prostokąta czyli \(\displaystyle{ b}\):
liczymy promień podstawy walca
\(\displaystyle{ 2\pi r=\frac{2p \sqrt{5} }{5}}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{p \sqrt{5} }{5 \pi}}\)
zatem pole podstawy
\(\displaystyle{ P_p=\pi r^2}\)
\(\displaystyle{ P_p=\pi (\frac{p \sqrt{5} }{5 \pi})^2}\)
\(\displaystyle{ P_p= \frac{p^2}{5 \pi}}\)

No to teraz policzymy wreszcie pola całkowite walca:
wariant a:
\(\displaystyle{ P_c=P_{pb}+2P_p=\frac{2p^2}{5}+2 \cdot \frac{p^2}{20 \pi}}\)
\(\displaystyle{ P_c=\frac{4\pi p^2}{10\pi}+\frac{p^2}{10 \pi}}\)
\(\displaystyle{ P_c= \frac{p^2(1+4\pi)}{10\pi}}\)
wariant b:
\(\displaystyle{ P_c=P_{pb}+2P_p=\frac{2p^2}{5}+2 \cdot \frac{p^2}{5 \pi}}\)
\(\displaystyle{ P_c= \frac{2\pi p^2+2p^2}{5 \pi}}\)
\(\displaystyle{ P_c= \frac{2p^2(\pi +1)}{5\pi}}\)

Skoro piszesz, że ma wyjść \(\displaystyle{ P_c= \frac{p^2(1+4\pi)}{10\pi}}\) tzn. że musi być w zadaniu jakiś dodatkowy warunek który odrzuca nasz wariant b, treść zadania przepisałaś ok? pozdrawiam