Matematyka.pl

prosze o pomoc w rozwiązaniu zadania
uzasadnij, że suma odległości punktu przecięcia przekątnych czworokąta od wierzchołków czworokąta jest mniejsza od sumy odległości dowolnego innego punktu płaszczyzny od wierzchołków tego czworokąka.

Weźmy dowolny czworokąt wypukły ABCD. Obierzmy dowolny punkt P różny od punktu przecięcia przekątnych, wtedy na mocy nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ |PA|+|PC|>|AC|}\)
\(\displaystyle{ |PB|+|PD|>|BD|}\)
Po dodaniu tych nierówności stronami, otrzymujemy \(\displaystyle{ |PA|+|PB|+|PC|+|PD|>|AC|+|BD|}\), co kończy dowód.