Matematyka.pl

Prosta\(\displaystyle{ y=x+1}\) przecina parabolę o równaniu \(\displaystyle{ y=x^2-5x+6}\) w punktach A i B, które jednocześnie należą do okręgu , przez którego środek przechodzi prosta o równaniu\(\displaystyle{ 7x+3y-9=0}\)

-napisz równanie tego okręgu


narysowałem sobie wszystko tak jak podano w treści zadania i nie mam pomysłu jak zacząć liczyć to zadanie. wiem jak wygląda równanie okręgu ale nie wiem które dane mam wziąć aby wyszlo. liczę na wskazówkę z Waszej strony.

pozdrawiam.

Najpierw można obliczyć współrzędne punktów przecięć współrzędnych z parabolą:\(\displaystyle{ x+1=x^2-5x+6}\), z tego wychodzą 2 rozwiązania na y, a potem wyliczamy z nich x. Oznaczmy: a,b-wspólrzędne środka.
Równanie okegu: \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2.[}\), znamy dwa punkty należące do okręgu, więc podstawiamy ich współrzędne. Brakuje jeszcze jednego równania (niewiadome są 3: a, b i r), ale a i b muszą spełniać równanie prostej przechodzącej przez środek, czyli: 7a+3b=9, zatem mamy układ 3 równań z trzema niewiadomymi.

znalazłem punkty przecięcia tzn A=(1,2) B=(5,6) i podstawiłem je pod wzór na okrąg

\(\displaystyle{ (1-a)^2+(2-b)^=r^2}\)

\(\displaystyle{ (5-a)^2+(6-b)^2=r^2}\)

porównałem to ze sobą i wyszło mi równanie

\(\displaystyle{ a+b=7}\)

i dalej nie wiem co zrobić.. próbowałem wyznaczyć a i wstawić w miejsce (a) 7-b ale mi zero wyszło
mógłby ktoś mi wytłumaczyć co dalej zrobić?

a+b=7 i 7a+3b=9, czyli masz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, który możesz rozwiązać np. metodą przeciwnych współczynników: a=-3 i b=10.

Kibu pisze: 7a+3b=9

właśnie nie rozumiem dlaczego w miejsce tej prostej na której jest środek okręgu wstawiasz a i b

mogłby ktoś mi powiedzieć dlaczego tak się robi???

dokładnie jeśli można

pozdrawiam.

Ogólne równanie okręgu ma postać:
\(\displaystyle{ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\), gdzie \(\displaystyle{ (a,b)}\) to współrzędne środka. Z treści zadania wynika, że środek leży na prostej o konkretnym równaniu, więc jego współrzędne muszą je spełniać.