Matematyka.pl

Interesuje mnie problem wyprowadzenia wzorów ogólnych na rozwinięcie ułamków prostych w szereg potęgowy. Jeżeli ktoś z Was może pomóc, byłbym niezmiernie wdzięczny ...

Ponieważ te rozwinięcia są mi potrzebne na gruncie matematyki dyskretnej (metoda funkcji tworzącej na podawanie wzorów jawnych ciągów na podstawie ich defincji rekurencyjnych), nie interesuje mnie ograniczenie jakie należy narzucić na \(\displaystyle{ x}\) aby zbieżność zachodziła, wystarcza mi, aby \(\displaystyle{ \bigvee_{x \in R}\,f \left( x \right) \,=\,\sum_{n\,=\,0}^{\infty} {g \left( n \right) x^{n}}}\).

Dla \(\displaystyle{ \frac {A}{Bx+C}}\) wydaje mi się, że nie ma problemu (przekształcenie i rozwinięcie ze wzoru na sumę nieskończoną ciągu geometrycznego):
\(\displaystyle{ \frac {A}{Bx+C}\,=\,\frac {A}{B} \frac {1}{x+\frac{C}{B}}\,=\,\frac {A}{B} \sum_{n\,=\,0}^{\infty} { \left( -\frac{C}{B} \right) ^n x^n}}\)
Oczywiście jeżeli \(\displaystyle{ \left| \frac{C}{B}\right| \geq 1}\) to \(\displaystyle{ x<\left| \frac{B}{C}\right|}\) (ale to nieistotne z mojego punktu widzenia, jak już pisałem).

Natomiast nie mam pomysłu jak zabrać się za ułamek typu \(\displaystyle{ \frac {ax+b}{Ax^2 +Bx+C}\,, \, \left( \Delta <0 \right)}\)

Jedyny pomysł, to przekształcanie jak przy całkowaniu takiego ułamka, lecz wtedy dostaję postać typu (zapis w uproszczeniu) \(\displaystyle{ \frac {x+n}{x^2+qx+s}\,=\,\frac {x}{x^2+qx+s}+n\frac {1}{x^2+qx+s}}\) , problemem są zatem rozwinięcia typu \(\displaystyle{ \frac {x}{x^2+qx+s}}\) i \(\displaystyle{ \frac {1}{ \left( x+i \right) ^2-j}}\) (żadne osiągnięcie) i nie mam pojęcia co dalej... Liczenie kolejnych pochodnych (rozwinięcie Maclaurina) nie ma chyba żadnego sensu ....

Jeżeli ktoś chce mi pomóc, prosiłbym o sprawdzenie poprawności rozumowania dla pierwszego z ułamków i jakąś podpowiedź do przekształcania (i rozwinięcia w szereg) drugiego. Z góry dzięki.

BTW. Nie mam pojęcia, czy ten problem posiada jakieś sensowne rozwiązanie - sam go sobie wymyśliłem

No z tym pierwszym troszkę nie tak:

\(\displaystyle{ \frac {A}{Bx+C}=\frac {A}{B} \frac {1}{x+\frac{C}{B}}=\frac {A}{B}\frac{1}{\frac{C}{B} \left( 1+\frac{B}{C}x \right) }=\frac{AB}{BC}\sum_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{B}{C} \right) ^n x^n=\frac{A}{C}\sum_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{B}{C} \right) ^n x^n}\)

Z drugim to z nie wiem, bo nie próbowałem. Ale Mathematica mówi:

\(\displaystyle{ \frac {ax+b}{Ax^2 +Bx+C}=\frac{b}{C} + \frac{\left( -\left( b\,B \right) + a\,C \right) \,x}{C^2} +\frac{\left( b\,B^2 - A\,b\,C - a\,B\,C \right) \,x^2}{C^3} +}\) \(\displaystyle{ \frac{\left( aC\left( B^2 - AC \right) - b\left( B^3 - 2ABC \right) \right)x^3}{C^4}+}\)

\(\displaystyle{ + \frac{\left( -\left( a\,B\,C\,\left( B^2 - 2\,A\,C \right) \right) + b\,\left( B^4 - 3\,A\,B^2\,C + A^2\,C^2 \right) \right) \,x^4}{C^5} +}\)

\(\displaystyle{ +\frac{\left( a\,C\,\left( B^4 - 3\,A\,B^2\,C + A^2\,C^2 \right) - b\,\left( B^5 - 4\,A\,B^3\,C + 3\,A^2\,B\,C^2 \right) \right) \,x^5}{C^6} + O \left( x^6 \right)}\)

Faktycznie z tym pierwszym się nieco pośpieszyłem
A z drugiego widzę, że nic nie będzie... Te pięć pochodnych wygląda na tyle nieprzyjemnie, że pewnie nie da się tego "zwinąć" w szereg.
Dziękuję za zaangażowanie i pomoc
Pozdrawiam