Matematyka.pl

Wyznaczyć ekstrema funkcji \(\displaystyle{ f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\),gdy \(\displaystyle{ f(x) = x^{3}e^{-x}}\)

Nie wiem jak się za to zabrać. Nie umiem jeszcze liczyć ekstremum. Z tego co wyczytałem trzeba najpierw obliczyć pochodną z tego, więc:
\(\displaystyle{ f'(x) = x^{3}e^{-x} + 3x^{2}e^{-x}}\)

Co dalej trzeba robić? Porównać pochodną do zera?

\(\displaystyle{ x^{3}e^{-x} + 3x^{2}e^{-x} = 0}\)

Tylko co z tym zrobić?

1) co ma ekstremum do granicy?
2) jestes pewny ze pochodna jest dobrze policzona?
3) szukasz miejsc zerowych pochodnej i masz swoje ekstremum.

1) Faktycznie nie w tym dziale przez pomyłkę stworzyłem temat. Przepraszam za to. Jeśli jest taka możliwość to proszę moderatora o przeniesienie do odpowiedniego działu.

2) \(\displaystyle{ f'(x) = e^{-x}' * x^{3} + e^{-x} * x^{3}' = e^{-x} * x^{3} + e^{-x} * 3x^{2} = x^{3}e^{-x} + 3x^{2}e^{-x}}\)

Coś źle liczę?

3) Nie wiem jak z takiej funkcji wyciągnąć miejsca zerowe.

Mówi Ci coś sformułowanie "pochodna funkcji złożonej"?

2)\(\displaystyle{ (e^{-x})'=-(e^{-x})}\)

3) miejsc zerowych nie potrafisz liczyc?? To są kolego PODSTAWY. Nie ma co sie brac za pochodne, ekstrema jak sie tego nie umie.

juz mu Rogal pokazalem;]

3) Miejsca zerowe umiem liczyć, tylko nie wiem jak to jest w przypadku, gdy w funkcji występuje liczba e. To ona mnie tutaj blokuje.

2) \(\displaystyle{ f'(x) = e^{-x}' * x^{3} + e^{-x} * x^{3}' = -e^{-x} * x^{3} + e^{-x} * 3x^{2} = -x^{3}e^{-x} + 3x^{2}e^{-x}}\)

W ten sposób?

Teraz \(\displaystyle{ -x^{3}e^{-x} + 3x^{2}e^{-x}= 0}\)
I tak jak napisałem wcześniej, nie wiem co dalej z powodu liczby e.

a czy \(\displaystyle{ e^{-x}}\) moze byc rowne zero?

Wydaje mi się, że może być, ponieważ wtedy równanie by się zgadzało. \(\displaystyle{ 0 + 0 = 0}\)
Czyli \(\displaystyle{ e^{-x}=0}\)
\(\displaystyle{ e^{-x}= \lim_{ n\to \infty}(1+ \frac{-x}{n})^{n}}\)
Na prawdę nie wiem co z tym zrobić heh. Z liczbą e spotykałem się dotychczas wyłącznie w przypadku liczenia granic. Jednak tam właściwie nic się z nią nie robiło. Przekształcało się w \(\displaystyle{ e^{\lim}}\) po dzieleniu wielomianów.
Tutaj jednak jestem bezradny.

volv pisze:Wydaje mi się, że może być, ponieważ wtedy równanie by się zgadzało. \(\displaystyle{ 0 + 0 = 0}\)
Czyli \(\displaystyle{ e^{-x}=0}\)
\(\displaystyle{ e^{-x}= \lim_{ n\to \infty}(1+ \frac{-x}{n})^{n}}\)

chlooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooopiiiiiiiiiiiiiiieeeeeeeeeeeeee!!!!!!!!!!!!

\(\displaystyle{ e^{-x} \neq 0}\)
dla kazdego x...narysuj sobie tę funkcje to zobaczysz;]

Miodzio jeśli jesteś w stanie to rozwiązać to proszę zrób to. Ja już od wczoraj siedzę cały czas (dosłownie) nad analizą i wysiadam po prostu. Mylę się już nawet przy mnożeniu czasami heh.

Kolejnym brakiem u mnie jest to, że nie potrafię rysować funkcji, co odbija się na liczeniu monotoniczności. Nie wiem jak rysować funkcję znaku pochodnej. Jednak to już inny temat.

Czyli co dalej trzeba zrobić z tym?

\(\displaystyle{ -x^{3}e^{-x} + 3x^{2}e^{-x}= 0}\)

wyciagnij \(\displaystyle{ e^{-x}}\) przed nawias. Potem juz latwo idzie. Jestem przerazony Twoim stanem wiedzy...bez urazy, ale te braki nalezy odrobic.

ja bym jeszcze \(\displaystyle{ x^2}\) wyłączył przed nawias

Litości Zaraz tutaj odlecę heh

Pewnie błędów narobiłem, ale przepiszę co naliczyłem.

\(\displaystyle{ e^{-x}(3x^{2}-x^{3})=0}\)
\(\displaystyle{ e^{-x}(x^{2}(-x+3))=0}\)
\(\displaystyle{ x=3}\)

Teraz na podstawie innych przykładów widzę, że mam wyliczyć drugą pochodną, no to lecimy:
\(\displaystyle{ f''(x)=-3x^{2}e^{-x} + x^{3}e^{-x} + 6xe^{-x} - 3x^{2}e^{-x} = x^{3}e^{-x}-2 * (3x^{2}e^{-x}) + 6xe^{-x}}\)

Powiedzmy, że mam drugą pochodną. No to teraz liczę ją z miejsca zerowego pierwszej pochodnej, żeby sprawdzić, czy te ekstremum istnieje ^^

\(\displaystyle{ f(3) = 3^{3}e^{-3} - 2(3*3^{2}e^{-3}) + 6*3e^{-3} = 27e^{-3} - 52e^{-3} + 18e^{-3} = -2e^{-3}}\)

Co dalej nie wiem.

Czekam na komentarze

Schemat jest prosty - sprawdzasz wartość drugiej pochodnej w punktach, które zerowały pierwszą pochodną. Jeśli jej wartość jest większa od zera, to masz minimum, jeśli mniejsza od zera to maksimum, a jeśli równa 0, to masz problem.

Mam rozumieć, że ostatnie obliczenia dobrze wykonałem?
Wobec tego \(\displaystyle{ -2e^{-2}<0\(\displaystyle{
Czyli funkcja ma minimum w punkcie x=3, zgadza się? I na tym koniec obliczeń ekstremum?}\)}\)