Matematyka.pl

21.02.2009 odbyło się na Politechnice Wrocławskiej kolokwium ze Studium Talent prowadzonego przez prof. Janusza Górniaka dla licealistów. Poprawne wykonanie wszystkich zadań skutkuje otrzymaniem miejsca na studiach (na jednym z kierunków) bez względu na wyniki matury.
Czy mógłby ktoś rozwiązać te zadania, aby (myśle że wiele osob) mogło porównać wyniki?
Z góry dzięki, pozdrawiam
szak

1. Obliczyć kożystając z definicji całki oznaczonej:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} x \mbox{d}x}\)

2. Obliczyć całkę górną i dolną z:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} - \frac{1}{3}, \ \ \ \ x - wymierne \\ \ \ \ 1, \ \ \ \ x - niewymierne \end{cases}}\)

3. Obliczyć całkując przez części:
\(\displaystyle{ \int x \cdot cos3x \mbox{d}x}\)

4. Obliczyć objętość bryły obrotowej powstałej po obrocie - dookoła osi OX - trapezu krzywoliniowego ograniczonego wykresem funkcji:
\(\displaystyle{ y = \sqrt{x \cdot lnx}}\) prostymi: \(\displaystyle{ x=1, \ x=e \ i \ osią \ OX}\)

5. Obliczyć, stosując odpowiednie podstawienie:
\(\displaystyle{ \int cos^3x \cdot sin^2x \mbox{d}x}\)

6. Wyznaczyć funkcję:
\(\displaystyle{ F(x) = \int_{-1}^{x} (1- \left| t \right|) \mbox{d}t \ \ \ \ \ \ na <-1, 1>}\)

7. Obliczyć pochodną funkcji:
\(\displaystyle{ F(x) = \int_{x^3}^{sinx} t^2 \mbox{d}t}\)

1. \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
2.\(\displaystyle{ S _{n}=1}\)
\(\displaystyle{ s _{n}= -\frac{1}{3}}\)
5.sinx=t
cosxdx=dt

Odpowiedzi do grupy A:
1) -1/3(cos^#x)+1/5(cos^5x)+c
2)-1/2(xcis2x)+1/4(sin2x) + c
3) V=Pi
4)1/2
5) (1-x^2)/2 dla x <-1,0)
(1+x^2)/2 dla x<0,1>
6) S=1/2
s=-1
7) sin^2cosx+ cos^2sinx

Ktos ma tak samo?