Praski Konkurs Matematyczny Finał 21.02.2009

[Yoe]

Zadanie 1

Udowodnij, że dla każdego n \(\displaystyle{ \in}\) N ułamek \(\displaystyle{ \frac{14n+3}{21n+4}}\) jest nieskracalny.

Zadanie 2

Niech S oznacza pole trójkąta, zaś p połowę jego obwodu. Wykaż, że S \(\displaystyle{ \le \frac{2p ^{2} }{9}}\) .

Zadanie 3

Rozwiąż układ

\(\displaystyle{ { \sqrt{ x^{2}+y^{2} }- \sqrt{ x^{2}-y^{2}} =y}}\)

\(\displaystyle{ x ^{4}-y ^{4} = 144}\)

Zadanie 4

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy jest równa a, zaś wysokość ściany bocznej jest równa \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{10} }{2}}\) Przez krawędź podstawy poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do przeciwległej ściany bocznej. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

[Dumel]

zad. 1.
\(\displaystyle{ NWD(14n+3,21n+4) \le NWD(3(14n+3),2(21n+4))=NWD(42n+9, 42n+8)=NWD(1,49n+8)=1}\)

[Yoe]

Zadanie 4 jest bardzo podobne do zeszłorocznego... dali utrudnienie na literach.

2008

4) Dany jest ostrosłup prawidłowy o długości krawędzi podstawy 20 i wysokości 30. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i prostopadłą do przeciwległej ściany. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

[XMaS11]

Zad nr.2
Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) oznaczają długości boków tego trójkąta, to zachodzi :
\(\displaystyle{ ab \ge 2S \\
bc \ge 2S \\
ca \ge 2S}\)
Stąd dodając stronami dostajemy:
\(\displaystyle{ ab+bc+ca \ge 6S}\)
Pozostaje udowodnić,że
\(\displaystyle{ (a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)}\)
Co po przekształceniach jest równoważne
\(\displaystyle{ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0}\)

[smigol]

1.
niech
a oraz b będą liczbami względnie pierwszymi
przypuśćmy, że a-b oraz b mają wspólny dzielnik d >1
zatem dla pewnych całkowitych k i s zachodzi: a-b=dk oraz b=ds
zatem: a=a-b +b = dk +ds = d(k+s)
zatem a i b mają wspólny dzielnik d, co sprzeczne z założeniem
zatem:
\(\displaystyle{ (21n+4,14n+3)=(21n+4-(14n+3),14n+3)= \\ =(7n+1,14n+3)=(7n+1,14n+3-2(7n+1))= \\ =(7n+1,1)=1}\)

[frej]

3.
\(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2} \sqrt{x^2-y^2}=12 \\a=\sqrt{x^2+y^2} \\ b=\sqrt{x^2-y^2} \\ y^2=\frac{a^2-b^2}{2}}\)
powinno pomóc

2. Jak ktoś nie chce myśleć za bardzo to podstawienie
\(\displaystyle{ a=x+y \quad b=y+z \quad c=z+x}\) i Heron, wymnożyć na pałę i powinno coś wyjść

[kmail]

4. rozwiązanie raczej proste, pitagoras i podobieństwo trójkątów. Mi wyszło:
\(\displaystyle{ \frac{27 \sqrt{10} a ^{2}}{100}}\)

[Yoe]

\(\displaystyle{ deleted}\)