Dowód
: 20 lut 2009, o 18:16
Udowodnij, że jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla czterech argumentów całkowitych wartość 1, to dla żadnego argumentu całkowitego nie przyjmuje wartości -1.
Niech W będzie rozważanym wielomianem i niech a,b,c,d będą punktami, o których mowa w zadaniu.
Skoro \(\displaystyle{ W(a)=W(b)=W(c)=W(d)=1}\), to wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=W(x)-1}\) ma w a,b,c,d miejsca zerowe, czyli \(\displaystyle{ Q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)R(x)}\), gdzie R(x) jest pewnym wielomianem o współczynnikach całkowitych.
Gdyby istniało takie p, że \(\displaystyle{ W(p)=-1}\), to zachodziłoby:
\(\displaystyle{ Q(x)=-2}\)
\(\displaystyle{ (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)R(p)=-2}\),
czyli liczba 2 byłaby iloczynem pięciu czynników całkowitych, z których co najmniej 4 są różne (co jest niemożliwe). Sprzeczność dowodzi tezy zadania.