Matematyka.pl

4 granice...
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0^{+}}\frac{lnsin2x}{lnsinx}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to1^{+}}\frac{cosln(x-1)}{ln(e^{x}-e)}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}xctg2x}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\(1+\frac{1}{x^{2}}\)^{2}}\)

4.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x^2})^2=\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x^2})*(1+\frac{1}{x^2})}\)
Jak wiesz \(\displaystyle{ \frac{1}{x^n}}\) jest zbieżny do zera, tak wiec:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x^2})*(1+\frac{1}{x^2})=(1+0)(1+0)=1}\)
Dziwie sie, ze tego nie zrobilas/-es, przeciez ten przyklad w porownaniu z poprzednimi jest trywialny imho...

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\0^+}\frac{ln(sin2x)}{ln(sinx)} = \lim_{x\to\0^+} \frac{{1\over sin2x} 2cos2x}{{1 \over sinx} cosx} =\lim_{x\to\0^+} \frac{2\cdot cos2x}{cosx} \lim_{x\to\0^+} \frac{cos2x}{2cosx} = 1}\)

wszędzie analogicznie szpitalna reguła

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} x\cdot ctg(2x) = \frac{1}{2}}\), bo:
\(\displaystyle{ x\cdot ctg(2x)=\frac{1}{2}\cdot \cos(2x)\cdot\frac{2x}{\sin (2x)}}\), a
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{2x}{\sin(2x)}=1,\quad \lim_{x\to 0}\cos (2x)= 1}\)

Widzę że wszyscy szerokim łukiem omijają drugie:>
Wg mnie jeśli cosx dąży do nieskończoności to możemy wybrać dwa podciągi zbieżne do różnych granic, tak więc nie będzie tutaj określonej granicy...
Jeśli się mylę to prosze mnie poprawić.