Matematyka.pl

funkcja f określona jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \frac{a}{x-b}}\) , gdzie a jest liczbą ujemną. Wyznacz współczynniki a i b wiedząc, że zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje wartości większe od 2 jest przedział \(\displaystyle{ (-5;-3)}\).
Bardzo proszę o pomoc

Spróbuj rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ \frac{a}{x-b}>2}\). Przenieś wszystko na jeną stronę i sprowadź do wspólnego mianownika. Potem rozwiązujesz jak zwykłą nierówność wymierną(mnożysz licznik przez mianownik). Na końcu będziesz musiał rozwiązać dwa układy równań(wyjdzie Ci \(\displaystyle{ a<0}\) i \(\displaystyle{ a>0}\). Wybierz to które jest dodatnie.

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{a}{x-b}}\)

\(\displaystyle{ D=\mathbb R\backslash \{b\}}\)

założenie: \(\displaystyle{ a\in (-\infty;0)}\)

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{-4}{x+3}}\)

Wiesz, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac{a}{x-b}}\) przyjmuje wartości większe od \(\displaystyle{ 2}\) dla \(\displaystyle{ x\in (-5;-3)}\) oraz \(\displaystyle{ a<0}\), zatem \(\displaystyle{ f(-5)=2}\) oraz \(\displaystyle{ b=-3}\). Masz tutaj funkcję homograficzną, która przyjmuje wartości większe od \(\displaystyle{ 2}\) dla \(\displaystyle{ x\in (-5;b)}\), czyli \(\displaystyle{ b=-3}\) (\(\displaystyle{ x=b}\) jest asymptotą pionową wykresu funkcji).

Przykładowo narysuj sobie wykres dowolnej funkcji homograficznej \(\displaystyle{ f(x)=\frac{a}{x-b}}\) dla \(\displaystyle{ a}\) ujemnego.

A skąd wiedziałaś, że \(\displaystyle{ f(-5)=2}\), a \(\displaystyle{ b=-3}\)?

Pisząc potocznie: funkcja homograficzna \(\displaystyle{ f(x)}\) przyjmuje wartości większe od \(\displaystyle{ 2}\) dla \(\displaystyle{ x\in (-5;-3)}\), czyli równość zajdzie dla \(\displaystyle{ x=-5}\), tj. \(\displaystyle{ f(-5)=2}\). Funkcja ta przyjmuje wartości większe od \(\displaystyle{ 2}\) aż do \(\displaystyle{ x=b}\), gdzie \(\displaystyle{ x=b}\), to asymptota pionowa wykresu danej funkcji. Narysuj sobie pomocniczy wykres, aby zauważyć jak zachowuje się taka funkcja. Pamiętaj o własności funkcji homograficznej.

Dzięki wielkie:) Rzeczywiście jak sie narysuje rysunek pomocniczy to on pomaga:)
Czyli to trzeba bardziej odczytać z wykresu niż obliczyć ?

Przepraszam za odkopywanie - czy trzeba (lub bezpieczniej dla uzyskanych punktów) to obliczać, jak jest zasugerowane w drugim komentarzu czy wystarczy faktycznie narysować wykres bazując na wiedzy, że funkcja znajduje się w II i IV ćwiartce układu współrzędnych (skoro a < 0) i że w związku z tym nie osiąga argumentu -3 (czyli -3 jest poza dziedziną, więc b = -3), a z wykresu można odczytać, że \(\displaystyle{ f(-5) = 2}\)?

DamianSc pisze: 9 lut 2020, o 00:05 Przepraszam za odkopywanie - czy trzeba (lub bezpieczniej dla uzyskanych punktów) to obliczać, jak jest zasugerowane w drugim komentarzu czy wystarczy faktycznie narysować wykres bazując na wiedzy, że funkcja znajduje się w II i IV ćwiartce układu współrzędnych (skoro a < 0) i że w związku z tym nie osiąga argumentu -3 (czyli -3 jest poza dziedziną, więc b = -3), a z wykresu można odczytać, że \(\displaystyle{ f(-5) = 2}\)?

To zależy co piszesz i kto to będzie sprawdzał. Dla mnie rysunek nigdy nie był i chyba długo nie będzie rozwiązaniem. Można się powołać na to, że pewne rzeczy wiemy lub na ich oczywistość, ale to jak pewnie czujesz, jest dość subiektywne...
Moim zdaniem - nigdy na rysunek, to nie jest konkurs na najlepszą intuicję roku, tylko problem matematyczny.

A więc - bezpieczniej to wykazać matematycznie.

Z rysunkiem wszystko jest ok. Nie powołujemy się na niego jako sposobu rozwiązania.
Tutaj - wykres funkcji (hiperbola) \(\displaystyle{ g(x)=\frac{a}{x}}\) dla narzuconych (a) leży w II i IV ćwiartce. Zatem tylko górny kawałek wykresu z II ćwiartki funkcji (f) może spełnić warunek z zadania.
Czyli asymptotą pionową funkcji (f) jest \(\displaystyle{ x=-3}\) - znamy więc (b). Ta gałąź musi przechodzić przez punkt \(\displaystyle{ (-5;2)}\) - o czym już było.