Matematyka.pl

Witam, mój pierwszy temat/post.
Problem wygląda następująco:


Udowodnić indukcją matematyczną:
\(\displaystyle{ 19| 3^{3n-1} + 5 \cdot 2^{3n-2}}\)

Z góry Dzięki ;D



@Edit

Dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\)

dla n=1 sprawa jest oczywista:

Zakładam, ze dla n podzielność zachodzi, czyli
\(\displaystyle{ 3^{3n-1} + 5 \cdot 2^{3n-2}=19k \ , \ k \in C}\)

Teza: zachodzi dla n+1

Dowód:
\(\displaystyle{ 3^{3(n+1)-1} + 5 \cdot 2^{3(n+1)-2}= 3^{3n+2} + 5 \cdot 2^{3n+1}=27 \cdot 3^{3n-1} +8 \cdot 5 \cdot 2^{3n-2}=19 \cdot 3^{3n-1} +8 \cdot 3^{3n-1}+ 8 \cdot 5 \cdot 2^{3n-2}=19 \cdot 3^{3n-1} +8(3^{3n-1} + 5 \cdot 2^{3n-2})=19 \cdot 3^{3n-1} +19k=19( 3^{3n-1} + k)=19s \\
c.k.d.}\)