Matematyka.pl

Na ostatnim kolosie z matematyki dostałem takie oto zadanie:
Podaj dziedzinę i ekstrema funkcji:
f(x)=\(\displaystyle{ \frac{x^{x}}{e^{x}}}\)
Obliczyłem pochodną, ale nie mogłem logicznie przejść do dalszej części zadania.

Twoj tekst ma slaba rozdzielczosc .Rozumiem ze chodzi o
f(x)=\(\displaystyle{ \frac{e^{x}}{x^{x}}}\) ?:)
pochodna
f'(x)=\(\displaystyle{ \frac{e^{x}*x^{x}-e^{x}*e^{x*ln(x)}*(ln(x)+1)}{x^{2x}}}\)
miejsca zerowe beda dla takich x ze f'(x)=0 czyli otrzymujemy rownosc
\(\displaystyle{ \frac{e^{x}*x^{x}-e^{x}*e^{x*ln(x)}*(ln(x)+1)}{x^{2x}}=0}\)
mozna pomnozyc obustonnie przez \(\displaystyle{ \frac{M(x)}{e^{x}}}\)
otrzymamy
\(\displaystyle{ x^{x}-e^{x*ln(x)}*(ln(x)+1)=0}\)
ale przeciez , z czego skorzystalem wczesniej , :
\(\displaystyle{ e^{x*ln(x)}=x^{x}}\)
wiec \(\displaystyle{ x^{x}-x^{x}*(ln(x)+1)=0}\)
\(\displaystyle{ x^{x}*ln(x)=0}\)
ale \(\displaystyle{ x^{x}\neq 0}\)
wiec funkcja moze miec ekstremum tylko dla x takiego ze
\(\displaystyle{ ln(x)=0}\)
czyli x=1
zreszta to niewazne gdyz zle przepisalem twoj przyklad.Wlasciwe rozwiazanie jest 2 posty nizej:)

@vaynard: nie, chodzi o taką funkcję jaką podałem.
Dziedzina to R{0}
Pochodna z tej funkcji to:
\(\displaystyle{ \frac{{x^{x}}(lnx - 1)}{e^{x}}}\) wg moich obliczeń.
Chodzi o monotoniczność:
\(\displaystyle{ e^{x}}\) jest stale dodatnie zatem badamy tylko licznik.
Nie mam pojęcia jak zachowuje się \(\displaystyle{ x^{x}}\) oraz lnx - 1

Sorki pomylka
f(x)=\(\displaystyle{ \frac{x^{x}}{e^{x}}}\)
poniewaz
\(\displaystyle{ x^{x}=e^{ln(x^{x})}=e^{x*ln(x)}}\)
to f(x)=\(\displaystyle{ e^{x*ln(x)-x}}\)
f'(x)=\(\displaystyle{ e^{x*(ln(x)-1)}*(ln(x)-1+1)=e^{x*(ln(x)-1)}*(ln(x))}\)
trzeba przyrownac pochodna do zera wiec
albo
\(\displaystyle{ ln(x)=0}\) albo \(\displaystyle{ e^{x*(ln(x)-1)}=0}\)
funkcja wykładnicza nie "przecina" zera wiec w gre wchodzi tylko
\(\displaystyle{ ln(x)=0}\)
co jest spelnione dla x=1
Zeby sprawdzic czy to maksimum czy minimum upochodnij jeszcze raz f(x)
Latwo zauwazyc ze \(\displaystyle{ f'( x)=f(x)*ln(x)}\)
czyli \(\displaystyle{ f''(x)=f'(x)*ln(x)+\frac{f(x)}{x}}\)
zatem \(\displaystyle{ f''(1)=f(1)=1/e}\)
poniewaz f''(1)>0 i f'(1)=0 to w tym punkcie (x=1) znalduje sie minimum