Tw. Kronecker-Capelli'ego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Brodziol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 1 sty 2009, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów

Tw. Kronecker-Capelli'ego

Post autor: Brodziol » 16 lut 2009, o 17:41

Dla jakich liczb a nalezy IR jest niesprzeczny? \(\left\{\begin{array}{l} x+5y=-2\\3x+2y=a\\4x+y=1 \end{array}\)

Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa

Tw. Kronecker-Capelli'ego

Post autor: Dedemonn » 16 lut 2009, o 19:46

Dla takich, dla jakich rzA = rz(A|B). :] Wybierz minor stopnia 3 z macierzy A|B (jest tylko jeden taki), oblicz go i wyznacz te a, dla których się zeruje. (bo ma się zerować, gdyż rzA = 2) Potem wybierz minor stopnia 2 z A|B (zawierający parametr) i wyznacz te a, dla których się nie zeruje (czyli dla jakich wartości a, rz(A|B) = 2) Mam nadzieję, że znasz treść tw. K-C, bo bez tego nic nie rozwiążesz/zrozumiesz.

Brodziol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 1 sty 2009, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów

Tw. Kronecker-Capelli'ego

Post autor: Brodziol » 16 lut 2009, o 19:52

Treść tego twierdzenia rozumie w takim sensie, że stosuje się go wtedy kiedy wyznacznik macierzy równa się 0. Wtedy liczy się rzędy macierzy A i B. Jeśli nie są równe układ jest sprzeczny, a jeśli się równają to się dalej liczy, ale jak to właśnie nie wiem;/ Nawet nie wiem jak się za to zabrać. Ps. Licze że gostek da takie zadanie na kolokwium że wyznacznik będzie różny od 0;/

Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa

Tw. Kronecker-Capelli'ego

Post autor: Dedemonn » 16 lut 2009, o 20:02

Wyznacznik równy 0? Chyba jakąś hybrydę z wzorami Cramer'a zrobiłeś, bo ja nie widzę żadnego takiego warunku w tym twierdzeniu... (poza tym wyznacznik czego? jak dostaniesz macierz 2x10 to losujesz wyznacznik? :) )

I jeśli rzA=rz(A|B), to jeszcze pozostaje tylko sprawdzić ile układ ma niewiadomych - jeśli tyle co wynoszą rzędy, to ukł. jest oznaczony, jeśli nie tyle, to jest nieoznaczony.

Radzę przeczytać jeszcze parę razy treść twierdzenia. (na wikipedii jest chyba nawet przykład zastosowania)

Brodziol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 1 sty 2009, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów

Tw. Kronecker-Capelli'ego

Post autor: Brodziol » 16 lut 2009, o 20:12

Wiem że coś tam było o wyznaczniku gdzieś, nie wiem czy to wzory Cramera nie przypadkiem;/! Dla mnie to black magic, chociaż zwykłe równania policze, jakby nie było tam tego a;/ \(\left[\begin{array}{ccc}1&5&-2\\3&2&a\\4&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-2&5\\a&2\\1&1\end{array}\right]=-2 \cdot 1-5a+5=-5a+3\) \(-5a=3\) \(a_{1}= \frac{3}{5}\) \(\left[\begin{array}{ccc}1&5&-2\\3&2&a\\4&1&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&-2\\3&a\\4&1\end{array}\right]=a-1-2=a-3\) \(a_{2}=3\) Dobrze w ogóle licze?

Awatar użytkownika
Szemek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Tw. Kronecker-Capelli'ego

Post autor: Szemek » 16 lut 2009, o 20:55

http://wms.mat.agh.edu.pl/~msekowsk/

-- 16 lutego 2009, 20:56 --

Brodziol, co Ty w ogóle liczysz? bo ten zapis nic mi nie mówi

Brodziol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 1 sty 2009, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów

Tw. Kronecker-Capelli'ego

Post autor: Brodziol » 16 lut 2009, o 21:01

Właśnie nie wiem XD! Najlepiej jak ktoś mówił mi co mam robić, a ja bym to robił! Bo nie mam pojęcia jak się za to wziąć! A czytanie właśnie tego co mi wysłałeś nie wiele mi daje;/ To może ktoś mi powie od czego mam zacząć. Od obliczenia rzędy macierzy? \(\left[\begin{array}{ccc}1&5&-2\\3&2&a\\4&1&1\end{array}\right]\)

Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa

Tw. Kronecker-Capelli'ego

Post autor: Dedemonn » 16 lut 2009, o 23:03

To może ktoś mi powie od czego mam zacząć. Od obliczenia rzędy macierzy?
Przeczytaj drugi post w temacie.

Brodziol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 1 sty 2009, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów

Tw. Kronecker-Capelli'ego

Post autor: Brodziol » 17 lut 2009, o 11:24

a)Minor stopnia trzeciego: \(\left[\begin{array}{ccc}1&5&-2\\3&2&a\\4&1&1\end{array}\right]=2-6+20a+16-a-15=19a-3\) \(19a-3=0\) \(a= \frac{3}{19}\) b) Minor stonia drugiego z parametrem: \(\left[\begin{array}{ccc}5&-2\\2&a\end{array}\right]=5a+4\) \(5a+4=0\) \(a= -\frac{4}{5}\) Ps. Co dalej z tym zrobić?!
Ostatnio zmieniony 17 lut 2009, o 12:44 przez Brodziol, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa

Tw. Kronecker-Capelli'ego

Post autor: Dedemonn » 17 lut 2009, o 12:28

a) Błąd rachunkowy. Wyznaczyliśmy dla jakiego \(a\) macierz A|B nie ma rzędu 3. Myślę, że minoru st. 2-ego nie trzeba sprawdzać, bo istnieje inny, który jest niezerowy. Zatem dla \(a = \frac{3}{19}\) układ jest niesprzeczny (bo oznaczony). Nieoznaczony, zdaje się, nie jest jest nigdy, więc jest to jedyne rozwiązanie.

Brodziol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 1 sty 2009, o 20:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów

Tw. Kronecker-Capelli'ego

Post autor: Brodziol » 17 lut 2009, o 12:41

Już wiem o rachunku! Błąd który już poprawiłem! Czyli rozwiązanie jest tylko jedno i wynosi \(a=\frac{9}{13}\)?! A skąd wiadomo że ni ma więcej wyników?! Jakiś dowód(stwierdzenie?)? Albo z czego o wywnioskowałeś?!

Awatar użytkownika
Dedemonn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 689
Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kompa

Tw. Kronecker-Capelli'ego

Post autor: Dedemonn » 17 lut 2009, o 18:38

rzA = 2 (to jest stałe) rz(A|B) = 2/3 (w zależności od \(a\)) Ponieważ rzA = 2, więc szukamy takiego \(a\), dla którego rz(A|B) \(\neq\) 3. Otrzymujemy \(\frac{3}{19}\). Dla takiego \(a\) rz(A|B) = 2 (bo rzA = 2), zatem mamy 1 rozwiązanie. Rzędów niższych już nie uzyskamy żadnej z macierzy, bo istnieją niezerowe minory stopnia 2 niezawierające parametru \(a\).

ODPOWIEDZ