Hejka. Mam problem z nierównością wymierną z parametrem. Próbuje coś robić, ale mi nie wychodzi. Równania potrafię zrobić, a tego nie;/. Byłabym wdzięczna za pomoc. Oto zadanie:
Znajdź takie wartości parametru p, aby zbiorem rozwiązań danej nierówności był zbiór licz rzeczywistych:
a)\(\displaystyle{ \frac{x^{2}+2x+p}{x^{2}+3x+5}>0}\)
Nierówność wymierna z parametrem
-
Przemas O'Black
- Użytkownik
- Posty: 726
- Rejestracja: 7 lut 2009, o 18:30
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 69 razy
- Pomógł: 58 razy
Nierówność wymierna z parametrem
Przede wszystkim założenie: mianownik musi być różny od zera. Iloraz dwóch wyrażeń jest większy od 0, gdy ich iloczyn jest większy od 0. Ponadto wyrażenia w mianowniku i w liczniku mają współczynniki kierunkowe większe od 0. Wystarczy zatem, żeby obie delty były mniejsze od 0.
-
tenshim
- Użytkownik
- Posty: 29
- Rejestracja: 9 kwie 2008, o 22:29
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: lębork
- Podziękował: 9 razy
Nierówność wymierna z parametrem
Założenia to znam, a resztę spróbuje zrobić tak jak mówisz. może coś wyjdzie ;D-- 15 lutego 2009, 20:34 --Dobra nie wiem jak to zrobić. W mianowniku delta jest mniejsza od zera i co dalej? JAk możecie pomóżcie jeszcze.
-
Rohamos
- Użytkownik
- Posty: 53
- Rejestracja: 7 sty 2007, o 23:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 3 razy
Nierówność wymierna z parametrem
Skoro w mianowniku delta jest mniejsza od zera, a całość ma być większa od zera, to znaczy, że mianownik ma być większy od zera zawsze. Czyli dajesz warunek:
\(\displaystyle{ Delta}\)< 0
\(\displaystyle{ 4-4p <0}\)
\(\displaystyle{ 1-p<0}\)
\(\displaystyle{ -p<-1}\)
\(\displaystyle{ p>1}\)
Chyba nic nie przeoczyłem .
\(\displaystyle{ Delta}\)< 0
\(\displaystyle{ 4-4p <0}\)
\(\displaystyle{ 1-p<0}\)
\(\displaystyle{ -p<-1}\)
\(\displaystyle{ p>1}\)
Chyba nic nie przeoczyłem .
-
Mersenne
- Użytkownik
- Posty: 1010
- Rejestracja: 27 cze 2005, o 23:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bytom/Katowice
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 303 razy
Nierówność wymierna z parametrem
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}+2x+p}{x^{2}+3x+5}>0}\)
\(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb R} \quad x^{2}+3x+5>0}\)
Zauważ, że mianownik jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej, zatem dana nierówność będzie zachodziła jedynie, gdy licznik również będzie dodatni, tj. \(\displaystyle{ x^{2}+2x+p>0}\).
\(\displaystyle{ x^{2}+2x+p>0}\)- jest to nierówność kwadratowa
Współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest równy \(\displaystyle{ 1}\), zatem ramiona paraboli są skierowane w górę. Musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ \Delta<0}\), aby nierówność \(\displaystyle{ x^{2}+2x+p>0}\) była spełniona dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb R}\).
\(\displaystyle{ \Delta=4-4p}\)
\(\displaystyle{ \Delta<0 \iff 4-4p<0 \iff p>1 \iff p\in (1;+\infty)}\)
Odp.: \(\displaystyle{ p\in (1;+\infty)}\)
\(\displaystyle{ \forall_{x\in \mathbb R} \quad x^{2}+3x+5>0}\)
Zauważ, że mianownik jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej, zatem dana nierówność będzie zachodziła jedynie, gdy licznik również będzie dodatni, tj. \(\displaystyle{ x^{2}+2x+p>0}\).
\(\displaystyle{ x^{2}+2x+p>0}\)- jest to nierówność kwadratowa
Współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest równy \(\displaystyle{ 1}\), zatem ramiona paraboli są skierowane w górę. Musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ \Delta<0}\), aby nierówność \(\displaystyle{ x^{2}+2x+p>0}\) była spełniona dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb R}\).
\(\displaystyle{ \Delta=4-4p}\)
\(\displaystyle{ \Delta<0 \iff 4-4p<0 \iff p>1 \iff p\in (1;+\infty)}\)
Odp.: \(\displaystyle{ p\in (1;+\infty)}\)