ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
weed1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 16 wrz 2008, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 7 razy

ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł

Post autor: weed1 » 14 lut 2009, o 16:15

siemka, mam problem z tymi zadankami, z góry dzięki.

1.Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku a. Krawędź AS o długości b tworzy z krawędziami podstawy AB i AC kąty równe alpha . Oblicz objętość.

i to ciekawsze.

2.W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę alpha . Przez środki dwóch kolejnych krawędzi podstawy oraz przez wierzchołek ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę.
a)wyznacz tangens kąta, który tworzy ta płaszczyzna z płaszczyzną podstawy ostrosłupa.
b)Oblicz stosunek objętości brył podzielonych tą płaszczyzną.

Jakby ktoś od początku do końca mógł mi to wytłumaczyć byłbym bardzo wdzięczny tzn. głównie mi chodzi o ten kąt w 2 zad. , a 1 zad. to jakby mi całe mógł wytłumaczyć z góry dzięki, chyba się zaciąłem na tych zadaniach bo ich nie mogę ruszyć

Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł

Post autor: Sherlock » 14 lut 2009, o 19:36

Zad. 2


Kąt ACB to nasz kąt płaski \(\displaystyle{ \alpha}\). Wyrazimy wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\) za pomocą krawędzi \(\displaystyle{ a}\) podstawy, ale najpierw wyrazimy wysokość ściany bocznej \(\displaystyle{ h}\).
W trójkącie prostokątnym DCB:
\(\displaystyle{ ctg \frac{\alpha}{2}= \frac{h}{ \frac{a}{2} }}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{a \cdot ctg \frac{\alpha}{2}}{2}}\)

Teraz z tw. Pitagorasa liczymy H:
\(\displaystyle{ H^2+ (\frac{a}{2})^2=h^2}\)
\(\displaystyle{ H^2= \frac{a^2 \cdot ctg^2 \frac{\alpha}{2} }{4}-\frac{a^2}{4}}\)
\(\displaystyle{ H^2= \frac{a^2(ctg^2 \frac{\alpha}{2}-1)}{4}}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{a \sqrt{ctg^2 \frac{\alpha}{2}-1} }{2}}\)

Szukany kąt z punktu a) to \(\displaystyle{ \beta}\):
\(\displaystyle{ tg\beta = \frac{H}{x}}\)
\(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) przekątnej podstawy czyli \(\displaystyle{ x= \frac{a \sqrt{2} }{4}}\)

\(\displaystyle{ tg\beta= \frac{a \sqrt{ctg^2 \frac{\alpha}{2}-1} }{2} \cdot \frac{4}{a \sqrt{2}} = \sqrt{2ctg^2 \frac{\alpha}{2}-2}}\)

b) płaszczyzna dzieli ostrosłup na dwa ostrosłupy. Objętość tego mniejszego to:
\(\displaystyle{ V_1= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{8} \cdot H}\)
objętość większego:
\(\displaystyle{ V_2= \frac{1}{3} \cdot (a^2-\frac{a^2}{8} ) \cdot H=\frac{1}{3} \cdot \frac{7a^2}{8} \cdot H}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_1}{V_2}= \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{8} \cdot H}{\frac{1}{3} \cdot \frac{7a^2}{8} \cdot H} = \frac{1}{7}}\)

masz może odpowiedzi do tego zadania oraz zadania 1?

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł

Post autor: Justka » 14 lut 2009, o 21:03

edit.

Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł

Post autor: Sherlock » 14 lut 2009, o 21:07

Justka, podejrzewam, że w zad. 1 nie chodzi o prawidłowy ostrosłup trójkątny spodek wysokości leży zatem gdzie indziej, mam pewną koncepcję ale poczekam na ewentualną odpowiedź autora

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł

Post autor: Justka » 14 lut 2009, o 21:30

No tak, racja ten ostrosłup wcale nie musi być prawidłowy To ja również czekam na ewentualne podanie odpowiedzi

p.s Teraz wyszło \(\displaystyle{ V=\frac{a^2b\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{12}}\). Choć pewna tego wyniku nie jestem

Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł

Post autor: Grzegorz t » 15 lut 2009, o 10:16

Justka pisze:Teraz wyszło\(\displaystyle{ V= \frac{a^2b \sqrt{3-4cos^2 \alpha}}{12}}\). Choć pewna tego wyniku nie jestem
Mi wyszło tak samo jak Justce. Spodek wysokości leży na wysokości trójkąta równ. poprowadzonej z wierzchołka A. Wynik się zgadza

Gdyb teraz np. krawędź \(\displaystyle{ AS=b}\) była prostopadła to płaszczyzny podstawy, \(\displaystyle{ \alpha=\sphericalangle SAC= \sphericalangle SAB=90^{\circ}}\), wtedy wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H=AS=b}\) i objętość \(\displaystyle{ V= \frac{a^2b \sqrt{3} }{12}}\) , wynik ten otrzymamy z \(\displaystyle{ V= \frac{a^2b \sqrt{3-4cos^2 \alpha}}{12}}\), gdzie \(\displaystyle{ cos\alpha=0}\)

weed1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 16 wrz 2008, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 7 razy

ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł

Post autor: weed1 » 15 lut 2009, o 12:13

Właśnie niestety nie mam odpowiedzi do 1 zadania, za to do 2 wynik wyszedł taki jak podał Sherlock. Ale znając te zadania podejrzewam, że wynik(Justki) jest dobry, jakbyś podała jeszcze sposób rozwiązania to byłbym wdzięczny.

nogawka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 15 lut 2009, o 13:35
Płeć: Mężczyzna

ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł

Post autor: nogawka » 15 lut 2009, o 13:43

oblicz pole powierzchni całkowitej i objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy jest równa 6 cm, a wysokość ściany cocznej jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Proszę o pomoc w tym zadaniu.

Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł

Post autor: Sherlock » 15 lut 2009, o 13:50

nogawka pisze:oblicz pole powierzchni całkowitej i objętości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy jest równa 6 cm, a wysokość ściany cocznej jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni. Proszę o pomoc w tym zadaniu.
zerknij na rysunek wyżej, ten po prawej
Wg treści a=6, wysokość h jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni więc:
\(\displaystyle{ tg60^0= \frac{H}{ \frac{a}{2} }}\)
wylicz H i już możesz policzyć objętość

Do pola powierzchni potrzeba policzyć h:
\(\displaystyle{ sin60^0= \frac{H}{h}}\)

PS dla nowych zadań zakładaj osobne tematy

nogawka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 15 lut 2009, o 13:35
Płeć: Mężczyzna

ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł

Post autor: nogawka » 15 lut 2009, o 13:52

dzięki a mam takie pytanie nie trzeba wyciągać tego trójkąta co wyjdzie z tej wysokości bocznej??????

-- 15 lut 2009, o 14:04 --

proszę pomocy wzory do tego zadania bo nie było mnie w szkole przez 1 tydzień i nie wiem jak to zrobić jak byłem to były jeszcze graniastosłupy

Załóż nowy osobny temat, to na pewno znajdzie się osoba, która odpowie na twoje pytania. Justka.

Awatar użytkownika
Justka
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

ostrosłup(podstawa trójkąt równoboczny), i ostrosłup prawidł

Post autor: Justka » 15 lut 2009, o 16:07

Z tw. cosinusów obliczamy długość krawędzi bocznej |CS|(c);
\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2ab cos\alpha}\) i korzystając z tego obliczamy wysokość ściany bocznej (o bokach a,c,c), czyli
\(\displaystyle{ h=\sqrt{c^2-(\frac{a}{2})^2} \iff h=\sqrt{\frac{3}{4}a^2+b^2-2ab cos\alpha }}\).

Korzystając z obliczonego h i tego że spodek wysokości lezy na wysokości poprowadzonej z wierzchołka A otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} h^2-x^2=H^2 \\ b^2-(\frac{a\sqrt{3}}{2}-x)^2=H^2 \end{cases}}\)
Po krótkich przekształceniach
\(\displaystyle{ H=\frac{b\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{\sqrt{3}}}\)
Podstawiając pod wzór \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}PpH}\) dochodzimy do ostatecznego wyniku \(\displaystyle{ V=\frac{a^2b\sqrt{3-4cos^2\alpha}}{12}}\)

ODPOWIEDZ