Matematyka.pl

R-4
Zadanie 3.
Wykaż, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(x-2) ^{2m} +(x-1) ^{m} - 1}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ P(x)=x ^{2} -3x+2}\)dla każdego\(\displaystyle{ m \in N _{+}}\) .

\(\displaystyle{ P(x)=x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)}\), na mocy twierdzenia Bezouta wystarczy zatem pokazać, że \(\displaystyle{ W(1)=0,W(2)=0}\)
Otóż dla \(\displaystyle{ x=1}\) mamy \(\displaystyle{ W(x)=(-1)^{2m}+0^{m}-1=1-1=0}\),
dla \(\displaystyle{ x=2}\) mamy \(\displaystyle{ W(x)=0^{2m}+1^{m}-1=1-1=0}\).