Zachowanie energii - wyprowadzenie wzoru
: 13 lut 2009, o 16:04
Kilka linijek niżej znajduje się początek wyprowadzenie wzoru na zachowanie energii. Niestety w pewnych punktach nie wiem dlaczego jest tak a nie inaczej i prosiłbym o wytłumaczenie dlaczego tak właśnie to zostało napisane. Być może pewne punkty dotyczą raczej aparatu matematycznego, ale ogólny sens jest fizyczny.
Mamy układ N cząstek, wybieramy i-tą:
\(\displaystyle{ \vec{F} _{i} = m_{i} \vec{a} _{i} = m_{i} \frac{d \vec{v} _{i}}{dt} = \sum_{k = 1}^{N} \vec{F} _{ik} + \vec{F} _{i} + \vec{F} _{i} ^{*}}\)
\(\displaystyle{ \vec{F} _{ik}}\) - siły zachowawcze odziaływania cząstki i-tej na k-tą.
Nie powinno być k-tą na i-tą? W końcu badamy jakie siły działają na i-tą cząstkę, a nie na k-te.
\(\displaystyle{ \vec{F} _{i}}\) - siła zew. zachowawcza działająca na i-tą cząstkę
\(\displaystyle{ \vec{F} _{i} ^{*}}\) - siła zew. niezachowawcza działająca na i-tą cząstkę
Mnożymy przez \(\displaystyle{ d \vec{r} _{i} = \vec{v} _{i}dt}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i = 1}^{N} m _{i} \frac{d \vec{v} _{i} }{dt} \vec{v} _{i} dt = \sum_{i = 1}^{N} \left[\sum_{k = 1}^{N} \vec{F} _{ik} \right]d \vec{r} _{i} + \sum_{i = 1}^{N} \vec{F} _{i} d\vec{r} _{i} + \sum_{i = 1}^{N} \vec{F} _{i} ^{*} d\vec{r} _{i}}\)
I teraz wychodzi z tego takie coś:
\(\displaystyle{ d \left[\sum_{i = 1}^{N} \frac{m _{i} v _{i} ^{2} }{2} \right] = -d \left[\sum_{i < k}^{} U_{ik} \right] -d \left[\sum_{i = 1}^{N} U_{i} \right] + dL ^{*}}\)
Pierwszy człon to energia kinetyczna układu, drugi - energia potencjalna wzajemnych oddzialywań, trzeci - ubytek energii potencjalnej w zew. polu sił zachowawczych, czwarty - praca niezachowawczych sił zew.
Proszę o dokładne rozpisanie skąd się wziął ten ostatni wzór. Mam rozumieć, że scałkowaliśmy przedostatnie równanie. A póżniej skąd te różniczki i te minusy w członie 2 i 3? Poza tym, dlaczego działanie na dwóch sigmach (na i oraz k) można zapisać jako jedną sigmę gdzie i < k ?
Długo szukałem jakiegoś podobnego wyprowadzenia wzoru na zachowanie energii, ale ciągle dostaje tylko, że energia kin + ener. pot. = const (naturalnie w układzie zamkniętym przy siłach zachowawczych.) Macie jakieś porządne materiały na ten temat (porządne w sensie matematycznym)?
Mamy układ N cząstek, wybieramy i-tą:
\(\displaystyle{ \vec{F} _{i} = m_{i} \vec{a} _{i} = m_{i} \frac{d \vec{v} _{i}}{dt} = \sum_{k = 1}^{N} \vec{F} _{ik} + \vec{F} _{i} + \vec{F} _{i} ^{*}}\)
\(\displaystyle{ \vec{F} _{ik}}\) - siły zachowawcze odziaływania cząstki i-tej na k-tą.
Nie powinno być k-tą na i-tą? W końcu badamy jakie siły działają na i-tą cząstkę, a nie na k-te.
\(\displaystyle{ \vec{F} _{i}}\) - siła zew. zachowawcza działająca na i-tą cząstkę
\(\displaystyle{ \vec{F} _{i} ^{*}}\) - siła zew. niezachowawcza działająca na i-tą cząstkę
Mnożymy przez \(\displaystyle{ d \vec{r} _{i} = \vec{v} _{i}dt}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i = 1}^{N} m _{i} \frac{d \vec{v} _{i} }{dt} \vec{v} _{i} dt = \sum_{i = 1}^{N} \left[\sum_{k = 1}^{N} \vec{F} _{ik} \right]d \vec{r} _{i} + \sum_{i = 1}^{N} \vec{F} _{i} d\vec{r} _{i} + \sum_{i = 1}^{N} \vec{F} _{i} ^{*} d\vec{r} _{i}}\)
I teraz wychodzi z tego takie coś:
\(\displaystyle{ d \left[\sum_{i = 1}^{N} \frac{m _{i} v _{i} ^{2} }{2} \right] = -d \left[\sum_{i < k}^{} U_{ik} \right] -d \left[\sum_{i = 1}^{N} U_{i} \right] + dL ^{*}}\)
Pierwszy człon to energia kinetyczna układu, drugi - energia potencjalna wzajemnych oddzialywań, trzeci - ubytek energii potencjalnej w zew. polu sił zachowawczych, czwarty - praca niezachowawczych sił zew.
Proszę o dokładne rozpisanie skąd się wziął ten ostatni wzór. Mam rozumieć, że scałkowaliśmy przedostatnie równanie. A póżniej skąd te różniczki i te minusy w członie 2 i 3? Poza tym, dlaczego działanie na dwóch sigmach (na i oraz k) można zapisać jako jedną sigmę gdzie i < k ?
Długo szukałem jakiegoś podobnego wyprowadzenia wzoru na zachowanie energii, ale ciągle dostaje tylko, że energia kin + ener. pot. = const (naturalnie w układzie zamkniętym przy siłach zachowawczych.) Macie jakieś porządne materiały na ten temat (porządne w sensie matematycznym)?