Matematyka.pl

Najpierw przez indukcję:
\(\displaystyle{ a_{2}a_{3} \ldots a_{n} \ge (2a_{2} - a_{1})(2a_{3} - a_{2})\ldots(2a_{n} - a_{n-1})}\)
A potem wyjściowa nierówność przez indukcję, na końcu wychodzi:
\(\displaystyle{ (a_{n} -a_{n+1})(a_{2}a_{3}\ldots a_{n} - (2a_{2}-a_{1})(2a_{3} - a_{2})\ldots (2a_{n} - a_{n-1}) \ge 0}\)
Mam nadzieję, że się w tym nie pomyliłem.

1. Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_1, a_2,...,a_n (n \ge 2)}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ a_1 \ge a_2 \ge... \ge a_n>0}\). Udowodnić nierówność:
\(\displaystyle{ a_1a_2...a_{n-1}+ (2a_2-a_1)(2a_3-a_2)...(2a_n-a_{n-1}) \ge 2a_2a_3...a_n}\)

2. Dane są takie liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ a>b>1}\) oraz liczba \(\displaystyle{ ab+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a+b}\), zaś liczba \(\displaystyle{ ab-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a-b}\). Wykazać \(\displaystyle{ a<b \sqrt{3}}\)

3. Rozłączne okręgi \(\displaystyle{ o_1}\) i \(\displaystyle{ o_2}\) o śroskach odpowiednio \(\displaystyle{ I_1}\) i \(\displaystyle{ I_2}\) są styczne do prostej \(\displaystyle{ k}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ A_2}\) oraz leżą po tej samej jej stronie. Punkt \(\displaystyle{ C}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ I_1I_2}\), przy czym \(\displaystyle{ \sphericalangle A_1CA_2=90^{o}}\). Dla \(\displaystyle{ i=1,2}\) niech \(\displaystyle{ B_i}\) będzie punktem różnym od \(\displaystyle{ A_i}\), w którym prosta \(\displaystyle{ A_iC}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ o_i}\). Dowieść, że prosta \(\displaystyle{ B_1B_2}\) jest styczna do okręgów \(\displaystyle{ o_1}\) i \(\displaystyle{ o_2}\)

Wpaść, że 1 się robi indukcją to 90% zadania, a ja zacząłem robić indukcja i zrobiłem jakiś głupi błąd obliczeniowy i doszedłem do sprzeczności ;(. Gdybym zrobił, to byłby wielki powód do dumy, bo zrobić nierówność, której frej nie zrobił, jest naprawdę ciężko .

W 2 moje wypociny sprowadziły się do tego, że \(\displaystyle{ (a-1)(b-1)=(a+b)(n-1) \ \ (a+1)(b-1)=(a-b)(k-1)}\), gdzie \(\displaystyle{ ab+1=(a+b)n \ \ ab-1=(a-b)k}\) i że teza będzie udowodniona, jeżeli \(\displaystyle{ a^{2}+1 \le 3b^{2}}\)

Okrąg na punktach \(\displaystyle{ A_{1}, A_{2}, C', C}\), gdzie C' i C to możliwe punkty C, potem parę kątów wpisanych, dopisanych i wyszło mi, że \(\displaystyle{ B_{1}I_{1} || B_{2}I{2}}\). Może 2 punkty dostanę.