Matematyka.pl

Oblicz długość łuku krzywej:

\(\displaystyle{ y= \frac{x ^{3} }{6}- \frac{1}{2x} , 1 \le x \le 2}\)

Ogólnie wzór jest taki:

\(\displaystyle{ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx}\)

liczymy to, co ma byc pod pierwiastkiem:

\(\displaystyle{ y' = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}* \left( - \frac{1}{x^2} \right) = \frac{x^4 + 1}{2x^2}}\)

\(\displaystyle{ (y')^2 + 1 = \left( \frac{x^4 + 1}{2x^2} \right)^2 + 1 = \frac{x^8 + 2x^4 + 1 + 4x^4}{(2x^2)^2} = \frac{x^8 + 6x^4 + 1}{(2x^2)^2}}\)

I tą makabreskę wstawiam pod pierwiastek do całki:

\(\displaystyle{ L = \int_{1}^{2} \sqrt{ \frac{x^8 + 6x^4 + 1}{(2x^2)^2}} dx =
\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \sqrt{x^8 + 6x^4 + 1} dx = ...}\)

Natomiast co z tym dalej, to ciężko mi powiedzieć. Ale wynik nie będzie "ładny".

Właśnie dochodze do tego samego momentu i dalej nie mam pojęcia jak to ruszyć, ale dzięki za starania, może jeszcze się znajdzie ktoś kto wie jak to dokończyć, było by miło.

można próbować przez części, gdzie \(\displaystyle{ u = \sqrt{x^8+6x^4 + 1} \ \mbox{a} \ v' = x^{-2}}\)