Matematyka.pl

Wyznaczyć największą i najmniwjszą wartość funkcji

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x+1}{x ^{2}+2x+2 }}\) na przedziale \(\displaystyle{ \left(-7,0 \right)}\)

Po pierwsze to ja bym te przedziały domknął, żeby nie było żadnych wątpliwości.

To najpierw trzeba zbadać, jak zachowuje się ta funkcja w tym przedziale: czy rośnie, czy maleje czy ma jakieś ekstrema. Czyli trzeba zbadać jej monotoniczność.

Na podstawie zbadania znaku pierwszej pochodnej wynika:

1. Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) rośnie w przedziale: \(\displaystyle{ (-2;0)}\)
2. Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) maleje w przedziałach \(\displaystyle{ (-\infty;-2),(0;\infty)}\)
3. Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) ma ekstrema w punktach: \(\displaystyle{ x=-2}\), \(\displaystyle{ x=0}\)
a) w \(\displaystyle{ x=-2}\) ma minimum o wartości \(\displaystyle{ f(-2)=-\frac{1}{2}}\)
b) w \(\displaystyle{ x=0}\) ma maksimum o wartości \(\displaystyle{ f(0)=\frac{1}{2}}\)

Na podstawie powyższych rozważań można stwierdzić, że:
1) Funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) w przedziale \(\displaystyle{ \langle -7;0 \rangle}\) osiąga wartość najmniejszą w punkcie \(\displaystyle{ x=-2}\) o wartości \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\)
2) W związku z tym, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) na lewo od -2 maleje, a na prawo od -2 rośnie, to funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) będzie miała wartość największą w punkcie \(\displaystyle{ x=-7 \vee x=0}\)

\(\displaystyle{ f(-7)=-\frac{6}{37} \\ \\ f(0)=\frac{1}{2}}\)

Czyli funkcja osiąga w przedziale \(\displaystyle{ \langle -7;0 \rangle}\) wartość największą dla \(\displaystyle{ x=0}\) o wartości \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)